什麼是等價關係有什麼應用知識

　　等價關係是集合上的一種特殊的二元關係，它同時具有自反性、對稱性和傳遞性。以下是由小編整理的等價關係的內容，希望大家喜歡!

　　等價關係的介紹

　　等價關係是集合上的一種特殊的二元關係，它同時具有自反性、對稱性和傳遞性。常用等價關係來劃分集合，選取每類的代表元素來降低問題的複雜度，如軟體測試時，可利用等價類來選擇測試用例。

　　等價關係的定義

　　設 R 是集合 A 上的一個二元關係，若R滿足：

　　自反性：∀ a ∈A, => ***a, a*** ∈ R

　　對稱性：***a, b*** ∈R∧ a ≠ b => ***b, a***∈R

　　傳遞性：***a, b***∈R,***b, c***∈R =>***a, c***∈R

　　則稱 R 是定義在 A 上的一個等價關係。設 R 是一個等價關係，若***a, b*** ∈ R，則稱 a 等價於 b，記作 a ~ b 。

　　等價關係的應用

　　例一：

　　設A = {1, 4, 7}，定義A上的關係R如下：

　　R = { ***a, b*** | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }

　　其中a ≡ b mod 3叫做 a 與 b 模 3 同餘，即 a 除以 3 的餘數與 b 除以 3 的餘數相等。不難驗證 R 為 A 上的等價關係。

　　設 f 是從 A 到 B 的一個函式，定義 A 上的關係 R ：aRb，當且僅當f***a*** = f***b***，R 是 A 上的等價關係。

　　例二：

　　設 R 為定義在集合 A 上的一個關係，若 R 是自反的、對稱的和傳遞的，則稱 R 為等價關係。設 R 為集合 A 上的等價關係，對任何a∈A,集合 [a] = {b | ***a, b*** ∈R} 稱為元素 a 形成的等價類，其等價類集合 {[a] | a∈A}，稱作A關於R的商集，記作 A/R。定理 3.7.1 設給定非空集合 A 上等價關係 R ，對於 a, b ∈A,有 aRb 當且僅當 [a] = [b]。定理 3.7.2 集合 A 上的等價關係 R ，確定了 A 的一個劃分，該劃分就是商集 A/R。定理 3.7.3 集合A的一個劃分，確定 A 的元素間的一個等價關係。

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