集合的概念集合的定義是什麼

　　集合論的基礎是由德國數學家 康托爾在19世紀70年代奠定的，經過一大批卓越的科學家半個世紀的努力，到20世紀20年代已確立了其在現代數學理論體系中的基礎地位，可以說，現代數學各個分支的幾乎所有成果都構築在嚴格的集合理論上。集合的定義是什麼?以下是小編為大家整理的關於集合的定義，歡迎大家前來閱讀!

　　集合的定義

　　集合***簡稱集***是數學中一個基本概念，它是集合論的研究物件，集合論的基本理論直到19世紀才被創立。最簡單的說法，即是在最原始的集合論——樸素集合論中的定義，集合就是“一堆東西”。集合裡的“東西”，叫作元素。由一個或多個元素所構成的叫做集合。若x是集合A的元素，則記作x∈A。集合中的元素有三個特徵：1.確定性***集合中的元素必須是確定的***2.互異性***集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，則a不能等於1***3.無序性***集合中的元素沒有先後之分。***

　　集合的概念

　　集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的物件彙總成的集體，這些物件稱為該集合的 元素。例如全中國人的集合，它的元素就是每一箇中國人。我們通常用大寫字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小寫字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。 若x是集合S的元素，則稱x屬於S，記為x∈S。若y不是集合S的元素，則稱y不屬於S,記為y∉S。一般的我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含無限個元素的集合叫做無限集。

　　集合 中不同元素的數目稱為集合 的 基數，記作card*** ***。當其為有限大時，集合 稱為 有限集，反之則為無限集。

　　有一類特殊的集合，它不包含任何元素，如 ，我們稱之為 空集，記為 ∅。

　　設S,T是兩個集合，如果S的所有 元素都屬於T ，即 ， 其中符號 稱為包含，即表示由左邊的 命題可以推出右邊的 命題，則稱S是T的 子集，記為 。顯然，對任何集合S ，都有 。

　　如果S是T的一個子集，即 ，但在T中存在一個 元素 x不屬於S ，即 ，則稱S是T的一個 真子集。

　　如果兩個集合S和T的元素完全相同，則稱S與T兩個集合 相等，記為S=T 。顯然我們有 其中符號 稱為 當且僅當，表示左邊的 命題與右邊的 命題相互 蘊含，即兩個命題 等價。

　　並集定義：由所有屬於集合 或屬於集合 的元素所組成的集合，記作 ∪ ***或 ∪ ***，讀作“ 並 ”***或“ 並 ”***，即 ∪ ={ | ∈ ,或 ∈ }。並集越並越多。

　　交集定義：由屬於 且屬於 的相同元素組成的集合，記作A∩B***或 ∩ ***，讀作“ 交 ”***或“ 交 ”***，即 ∩ ={ | ∈ ,且 ∈ }。交集越交越少。

　　若 包含 ，則 ∩ = ， ∪ =

　　相對補集定義：由屬於 而不屬於 的元素組成的集合，稱為 關於 的相對補集，記作 - 或 \ ，即 - ={ | ∈ ，且 ∉ '}

　　絕對補集定義： 關於全集合 的相對補集稱作 的絕對補集，記作 '或∁u*** ***或~ 。· '= ; ‘=

　　定義：設有集合 ，由集合 所有子集組成的 集合，稱為集合 的冪集。

　　定理：有限集 的 冪集的 基數等於2的 有限集 的 基數 次 冪。

　　數學分析中，最常遇到的實數集的子集是 區間。

　　設a,b***a

　　集合表示法

　　表示集合的方法通常有三種。

　　列舉法就是將集合的元素逐一列舉出來的方式。例如，光學中的三原色可以用集合{紅，綠，藍}表示;由四個字母a,b,c,d組成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。

　　列舉法還包括儘管集合的元素無法一一列舉，但可以將它們的變化規律表示出來的情況。如正整數集 和整數集 可以分別表示為 和 。

　　{代表元素|滿足的性質}

　　設集合S是由具有某種性質P的元素全體所構成的，則可以採用描述集合中元素公共屬性的方法來表示集合：S={x|P***x***}

　　例如，由2的平方根組成的集合B可表示為B={x|x =2}。

　　而有理數集 和正實數集 則可以分別表示為 和 。

　　N：非負整數集合或 自然數集合{0,1,2,3,…}

　　N*或 N+：正整數集合{1,2,3,…}

　　Z： 整數集合{…,-1,0,1,…}

　　Q： 有理數集合

　　Q+：正有理數集合

　　Q-：負有理數集合

　　R： 實數集合***包括有理數和無理數***

　　R+：正實數集合

　　R-：負實數集合

　　C： 複數集合

　　∅：空集合***不含有任何元素的集合稱為空集合，又叫空集***

　　集合特性

　　給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬於或者不屬於該集合，二者必居其一，不允許有模稜兩可的情況出現。

　　一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用 多重集，其中的元素允許出現多次。

　　一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。集合上可以定義序關係，定義了序關係後，元素之間就可以按照序關係排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。***參見 序理論***

　　交換律： ∩ = ∩ ∪ = ∪

　　結合律： ∪*** ∪ ***=***A∪ ***∪ ∩*** ∩ =*** ∩ ∩

　　分配對偶律： ∩*** ∪ ***=*** ∩ ***∪*** ∩ *** ∪*** ∩ ***=*** ∪ ***∩*** ∪ ***

　　對偶律：*** ∪ ***^ = ^ ∩ ^ *** ∩ ***^ = ^ ∪ ^

　　同一律： ∪∅= ∩ =

　　求補律： ∪ '= ∩ '=∅

　　對合律： ''=

　　等 冪律： ∪ = ∩ =

　　零一律： ∪ = ∩ =

　　吸收律： ∪*** ∩ ***= ∩*** ∪ ***=

　　德·摩根律***反演律***：*** ∪ ***'= '∩ ' *** ∩ ***'= '∪ '

　　德·摩根律：1.集合 與集合 的交集的 補集等於集合 的補集與集合 的補集的 並集; 2.集合 與集合 的並集的 補集等於集合 的補集與集合 的補集的交集。

　　容斥原理***特殊情況***：

　　card*** ∪ ***=card*** ***+card*** ***-card*** ∩ ***

　　card*** ∪ ∪ ***=card*** ***+card*** ***+card*** ***-card*** ∩ ***-card*** ∩ ***-card*** ∩ ***+card*** ∩ ∩ ***