四次方程如何求解?

General 更新 2024-11-20

一元四次方程的常用解法

方程兩邊同時除以最高次項的係數可得 (1)移項可得 x4+bx3=-cx2-dx-e (2) 兩邊同時加上，可將（2）式左邊配成完全平方，方程成為 (3)在（3）式兩邊同時加上可得 (4)（4）式中的y是一個參數。當（4）式中的x為原方程的根時，不論y取什麼值，（4）式都應成立。特別，如果所取的y值使（4）式右邊關於x的二次三項式也能變成一個完全平方式，則對（4）對兩邊同時開方可以得到次數較低的方程。為了使（4）式右邊關於x的二次三項式也能變成一個完全平方式，只需使它的判別式變成0，即 (5)這是關於y的一元三次方程，可以通過塔塔利亞公式來求出y應取的實數值。把由（5）式求出的y值代入（4）式後，（4）式的兩邊都成為完全平方，兩邊開方，可以得到兩個關於x的一元二次方程。解這兩個一元二次方程，就可以得出原方程的四個根。費拉里發現的上述解法的創造性及巧妙之處在於：第一次配方得到（3）式後引進參數y，並再次配方把（3）式的左邊配成含有參數y的完全平方，即得到（4）式，再利用（5）式使（4）的右邊也成為完全平方，從而把一個一元四次方程的求解問題化成了一個一元三次方程及兩個一元二次方程的求解問題。不幸的是，就象塔塔利亞發現的一元三次方程求根公式被誤稱為卡當公式一樣，費拉里發現的一元四次方程求解方法也曾被誤認為是波培拉發現的一般的四次方程還可以待定係數法解，這種方法稱為笛卡爾法，由笛卡爾於1637年提出。先將四次方程化為x4+ax3+bx2+cx+d=0的形式。令，整理後得到y4+py2+qy+r=0（1）設y4+py2+qy+r=(y2+ky+t)(y2-ky+m)=y4+(t+m-k2)y2+k(m-t)y+tm比較dy對應項係數，得t+m-k2=p，k(m-t)=q，tm=r設k≠0，把t和m當作未知數，解前兩個方程，得，再代入第三個方程，得。即k6+2pk4+(p2-4r)k2-q2=0解這個方程，設k0是它的任意一根，t0和m0是k=k0時t和m的值那麼方程（1）就成為(y2+k0y+t0)(y2-k0y+m0)=0解方程y2+k0y+t0=0和y2-k0y+m0=0就可以得出方程（1）的四個根，各根加上就可以得出原方程的四個根。