如何證明三點共圓?

如何證明四點共圓或三點共線

1： 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓。2 ：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等於其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓。

四點共圓的證明方法

把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等），從而即可肯定這四點共圓。幾何描述：四邊形ABCD中，∠BAC=∠BDC，則ABCD四點共圓。證明：過ABC作一個圓，明顯D一定在圓上。若不在圓上，可設射線BD與圓的交點為D'，那麼∠BD'C=∠BAC=∠BDC，與外角定理矛盾。 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等於其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓。證法見上 把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓（相交弦定理的逆定理）；或把被證共圓的四點兩兩連結並延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等於自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．（割線定理的逆定理）上述兩個定理統稱為圓冪定理的逆定理，即ABCD四個點，分別連接AB和CD,它們（或它們的延長線）交點為P，若PA*PB=PC*PD，則ABCD四點共圓。證明：連接AC,BD，∵PA*PB=PC*PD∴PA/PC=PD/PB∵∠APC=∠BPD∴△APC∽△DPB當P在AB,CD上時，由相似得∠A=∠D，且A和D在BC同側。根據方法2可知ABCD四點共圓。當P在AB,CD的延長線上時，由相似得∠PAC=∠D，根據方法3可知ABCD四點共圓。 四邊形ABCD中，若有AB*CD+AD*BC=AC*BD，即兩對邊乘積之和等於對角線乘積，則ABCD四點共圓。該方法可以由托勒密定理逆定理得到。托勒密定理逆定理：對於任意一個凸四邊形ABCD，總有AB*CD+AD*BC≥AC*BD,等號成立的條件是ABCD四點共圓。如圖，在四邊形內作△APB∽△DCB（只需要作∠PAB=∠CDB,∠PBA=∠CBD即可）由相似得∠ABP=∠DBC，∠BAP=∠BDC∴∠ABP+∠PBD=∠DBC+∠PBD即∠ABD=∠PBC又由相似得AB:BD=PB:CB=AP:CD∴AB*CD=BD*AP，△ABD∽△PBC∴AD:BD=PC:BC，即AD*BC=BD*PC兩個等式相加，得AB*CD+AD*BC=BD*(PA+PC)≥BD*AC,等號成立的充要條件是APC三點共線而APC共線意味著∠BAP=∠BAC，而∠BAP=∠BDC，∴∠BAC=∠BDC根據方法2，ABCD四點共圓 西姆鬆定理逆定理：若一點在一三角形三邊上的射影共線，則該點在三角形外接圓上。設有一△ABC，P是平面內與ABC不同的點，過P作三邊垂線，垂足分別為L,M,N，若L,M,N共線，則P在△ABC的外接圓上。如圖，PM⊥AC,PN⊥AB,PL⊥BC，且L,N,M在一條線上。連接PB,PC，∵∠PLB+∠PNB=90°+90°=180°∴PLBN四點共圓∴∠PLN=∠PBN，即∠PLM=∠PBA同理，∠PLM=∠PCM，即∠PLM=∠PCA=∠PBA根據方法2，P在△ABC外接圓上