61.已知0＜a＜1，函式f（x）=loga（x+1），g（x）=2loga（2x+t）（t∈R）．（1）若1是關於x的方程f（x）-g（x）=0的一個解，求t的值；（2）當t=-1時，解不等式f（x）≤g（x）；（3）若函式F（x）=af（x）+tx2+2t+1在區間（-1，2]上有零點，求t的取值範圍．
方法/步驟
（1）由f（1）-g（1）=0，即可求得t的值；（2）當t=-1時，f（x）≤g（x）即loga（x+1）≤2loga（2x-1），利用對數函式的單調性可得真數間的大小關係，注意對數函式的定義域；（3）分情況討論：當F（x）的零點為2時，可得F（2）=0求得t值；當F（x）在（-1，2）內有零點時，根據函式零點判定定理可得不等式，解出即可；
（1）由f（1）-g（1）=0，即可求得t的值；
（1）f（x）-g（x）=0，即loga（x+1）-2loga（2x+t）=0，∵1是關於x的方程f（x）-g（x）=0的一個解，∴loga（1+1）-2loga（2×1+t）=0，
即loga2(2+t)2=0，
∴2(2+t)2=1，
解得t=-2±√2；
（2）當t=-1時，f（x）≤g（x）即loga（x+1）≤2loga（2x-1），利用對數函式的單調性可得真數間的大小關係，注意對數函式的定義域；
（2）當t=-1時，f（x）≤g（x）即loga（x+1）≤2loga（2x-1），也即loga（x+1）≤loga（2x-1）2，又0＜a＜1，則x+1≥（2x-1）2①，且x+1＞0②，2x-1＞0③，聯立①②③，解得12＜x＜≤54，
∴不等式f（x）≤g（x）的解集為：（12，54]；
（3）分情況討論：當F（x）的零點為2時，可得F（2）=0求得t值；當F（x）在（-1，2）內有零點時，根據函式零點判定定理可得不等式，解出即可；
（3）F（x）=af（x）+tx2+2t+1=aloga（x+1）+tx2+2t+1=x+1+tx2+2t+1=tx2+x+2t+2，若x=2是F（x）的零點，則有F（2）=0，即4t+2+2t+2=0，6t+4=0，解得t=-23；
若F（x）在（-1，2）內有零點，則有F（-1）F（2）＜0，即（t-1+2t+2）（4t+2+2t+2）＜0，整理得（3t+1）（6t+4）＜0，解得-23＜t＜-13
綜上所述，-23≤t＜-13，
故要使函式F（x）=af（x）+tx2+2t+1在區間（-1，2]上有零點，t的取值範圍為：-23≤t＜-13．
注意事項
本題考查函式零點判定定理、對數不等式的解法，屬中檔題，解對數不等式要注意考慮對數函式定義域．