變數間的相關關係教學設計

　　變數間的相關關係是高二數學的知識點，與函式關係不同，相關關係是一種非確定性關係。以下是小編為你整理的，希望能幫到你。

　　《變數間的相關關係》教學設計

　　[教學目標]：

　　1、 明確事物間的相互聯絡。認識現實生活中變數間除了存在確定的關係外，仍存在大量的非確定性的相關關係，並利用散點圖直觀體會這種相關關係。

　　2、 通過描述兩個變數的線性相關關係的過程，學會用數學的有關變數來描述現實關係。

　　3、知道最小二乘法思想，瞭解其公式的推導。會求迴歸方程，相關係數。

　　[教學 實 踐情況]：

　　一、 問題引出：請同學們如實填寫下表***在空格中打“√” ***

　　然後回答如下問題：①“你的數學成績對你的物理成績有無影響?”②“ 如果你的數學成績好，那麼你 的物理成績也不會太差，如果你的數學成績差，那麼你的物理成績也不會太好。”對你來說，是這樣嗎?同意這種說法的同學請舉手。

　　根據同學們回答的結果，讓學生討論：我們可以發現自己的數學成績和物理成績存在某種關係。***似乎就是數學好的，物理也好; 數學差的，物理也差，但又不全對。***教師總結如下：

　　物理成績和數學成績是兩個變數，從經驗看，由於物理學習要用到比較多的數學知識和數學方法。數學成績的高低對物理成績的高低是有一定影響的。但決非唯一因素，還有其它因素，如圖所示***幻燈片給出***：

　　因此，不能通過一個人的數學成績是多少就準確地斷定他的物理成績能達到多少。但這兩個變數是有一定關係的，它們之間是一種不確定性的關係。如何通過數學成績的結果對物理成績 進行合理估計有非常重要的現實意義。

　　二、 引出相關關係的概念

　　教師提問：“像剛才這種情況在現實生活中是否還有?”

　　學生甲：糧食產量與施肥用量的關係;

　　學生乙：人的體重與食肉數量的關係。

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　　從而得出：兩個變數之間的關係可能是確定的關係***如：函式關係***，或非確定性關係。當自變數取值一定時，因變數也確定，則為確定關係;當自變數取值一定時，因變數帶有隨機性，這種變數之間的關係稱為相關關係。相關關係是一種非確定性關係。

　　三、探究線性相關關係和其他相關關係

　　問題：在一次對人體脂肪和年齡關係的研究中，研究人員獲得了一組樣本資料：

　　人體的脂肪百分比和年齡

　　針對於上述資料所提供的資訊，你認為人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關係?教師特別向學生 強調在研究兩個變數之間是否存在某種關係時，必須從散點圖入手***向學生介紹什麼是散點圖***。並且引導學生從散點圖上可以得出如下規律：

　　1、如果所有的樣本點都落在某一函式曲線上，那麼變數之間具有函式關係***確定性關係***;

　　2、如果所有的樣本點都落在某一函式曲線的附近，那麼變數之間具有相關關係***不確定性關係***;

　　3、如果所有的樣本點都落在某一直線附近，那麼變數之間具有線性相關關係***不確定性關係***。

　　引導學生觀察作出的散點圖，體會現實生活中兩個變數之間的關係存在著不確定性。散點圖中的散點並不在一條直線上，只是分佈在一條直線的周圍，即為線性相關關係。

　　注：“迴歸”這個詞是有英國著名的統計學家 Francils Galton 提出來的。18***，他在研究祖先與後代身高之間的關係時發現，身材較高的父母，他們的孩子也較高，但這些孩子的平均身高並沒有他們的父母平均身高高;身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們的父母平均身高高。Galton 把這種後代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“迴歸現象”。後來，人們把由一個變數的變化去推測另一個變數的變化的方法稱為“迴歸方法”。

　　那麼如何求迴歸直線方程呢?人們在思考這個問題的時候，常用以下3種方法：

　　1、採用測量的方法，先畫一條直線，測量出各點到它的距離，然後移動直線，到達一個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的斜率和截距，就得到迴歸方程。

　　2、在圖中選取兩點畫直線，使得直線兩側的點的個數基本相同。

　　3、在散點圖中多取幾個點，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數，將這兩個平均數作為迴歸方程的斜率和截距。

　　上面的這些方法雖然有一定的道理，但總讓人感覺到可靠性不強。統計學中，科學家們經過研究後於是得出瞭如下方法：求迴歸方程的關鍵是如何用數學的方法來刻畫“從整體上看各點與此直線的距離和最小”。現在，我們來看一下數學家解決這個問題的思維過程吧。

　　設已經得到具有線性相關關係的一組資料： ，所要求的迴歸直線方程為： ，其中， 是待定的係數。當變數 取 時，可以得到 。求 的最小值，其步驟為：

　　四、相關係數及其含義

　　從圖象和迴歸方程可知：人的脂肪含量與人的年齡是正相關關係，那麼人的年齡多大程度上決定人體的脂肪含量?這就是相關強弱的問題。如何解決這一問題，統計學家們引進相關係數這一概念，用相關係數 來衡量兩個變數之間的線性關係的強弱。若相應於變數 的取值 ，變數 的觀測值為 ，

　　則兩個變數的相關係數的計算公式為：

　　相關關係的強弱給出具體的判斷標準：首先 的符號決定正、負相關關係;當 時，相關關係很強;當 時，相關關係一般;此外，相關關係很弱或者幾乎不能用線性相關來描述。通過計算，我們得到探究問題中的 ，所以我們說人的脂肪含量與人的年齡正相關關係很強。

　　最後，我們得到問題的主要結論：

　　1、 人體的脂肪與年齡之間是線性相關關係，而且正相關關係很強*** ***。

　　2、這種相關關係可以用迴歸方程： 來刻畫。

　　3、人在62、63、64歲時，人體的脂肪含量百分比大約為：35.26、35.84、3***2。

　　六、求直線迴歸方程，相關係數和作圖,這些EXCEL 可以方便地做到。仍以上題的資料為例。於 EXCEL表 中的空白區，選用"插入"選單命令中的"圖表"，選中 XY散 點圖型別，在彈出的圖表嚮導中按嚮導的要求一步一步地 操作，如有錯誤可以返回去重來或在以後修改。適當修飾 圖的大小、縱橫比例、字型大小、和圖符的大小等，使圖 美觀，最後得到圖1，圖中有直線稱為趨勢線，還有直線方程和相關係數。圖中的每一個部份如座標、標題、圖例 等都可以分別修飾，這裡主要介紹趨勢線和直線方程。

　　圖1散點圖

　　滑鼠右鍵點選圖中的資料點，出現一個對話方塊，選 " 新增趨勢線" ，圖中自動畫上一條直線，再以滑鼠右擊此線，出現趨勢線格 式對話方塊，選擇線條的粗細和顏色，在選項中選取顯示公式和顯示R 平方值，確定後即在 圖中顯示迴歸方程和相關係數。

　　小結：經歷用不同估算方法描述兩個變數線性相關的過程。知道最小二乘法的思想，能根據給出的線性迴歸方程係數公式建立線性迴歸方程。

　　《變數間的相關關係》知識點總結

　　一、變數間的相關關係

　　1.常見的兩變數之間的關係有兩類：一類是函式關係，另一類是相關關係;與函式關係不同，相關關係是一種非確定性關係.

　　2.從散點圖上看，點分佈在從左下角到右上角的區域內，兩個變數的這種相關關係稱為正相關，點分佈在左上角到右下角的區域內，兩個變數的相關關係為負相關.

　　二、兩個變數的線性相關

　　1.從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分佈在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變數之間具有線性相關關係，這條直線叫回歸直線.

　　當r>0時，表明兩個變數正相關;

　　當r<0時，表明兩個變數負相關.

　　r的絕對值越接近於1，表明兩個變數的線性相關性越強.r的絕對值越接近於0時，表明兩個變數之間幾乎不存線上性相關關係.通常|r|大於0.75時，認為兩個變數有很強的線性相關性.

　　三、解題方法

　　1.相關關係的判斷方法一是利用散點圖直觀判斷，二是利用相關係數作出判斷.

　　2.對於由散點圖作出相關性判斷時，若散點圖呈帶狀且區域較窄，說明兩個變數有一定的線性相關性，若呈曲線型也是有相關性.

　　3.由相關係數r判斷時|r|越趨近於1相關性越強.