標準差和標準誤的區別與聯絡

　　小夥伴們知道什麼是標準差與標準誤嗎?這兩者有何關係?有何區別?下面就跟著小編一起來看看吧。

　　標準差與標準誤關係與區別

　　在日常的統計分析中，標準差和標準誤是一對十分重要的統計量，兩者有區別也有聯絡。但是很多人卻沒有弄清其中的差異，經常性地進行一些錯誤的使用。對於標準差與標準誤的區別，很多書上這樣表達：標準差表示資料的離散程度，標準誤表示抽樣誤差的大小。這樣的解釋可能對於許多人來說等於沒有解釋。 其實這兩者的區別可以採用資料分佈表達方式描述如下：如果樣本服從均值為μ，標準差為δ的正態分佈，即X～Nμ, δ2,那麼樣本均值服從均值為0，標準差為δ2/n的正態分佈，即?～ Nμ,δ2/n。這裡δ為標準差，δ/n1/2為標準誤。明白了吧，用統計學的方法解釋起來就是這麼簡單。

　　可是，實際使用中總體引數往往未知，多數情況下用樣本統計量來表示。那麼，關於這兩者的區別可以這樣表述：標準差是樣本資料方差的平方根，它衡量的是樣本資料的離散程度;標準誤是樣本均值的標準差，衡量的是樣本均值的離散程度。而在實際的抽樣中，習慣用樣本均值來推斷總體均值，那麼樣本均值的離散程度標準誤越大，抽樣誤差就越大。所以用標準誤來衡量抽樣誤差的大小。

　　在此舉一個例子。比如，某學校共有500名學生，現在要通過抽取樣本量為30的一個樣本，來推斷學生的數學成績。這時可以依據抽取的樣本資訊，計算出樣本的均值與標準差。如果我們抽取的不是一個樣本，而是10個樣本，每個樣本30人，那麼每個樣本都可以計算出均值，這樣就會有10個均值。也就是形成了一個10個數字的數列，然後計算這10個數字的標準差，此時的標準差就是標準誤。但是，在實際抽樣中我們不可能抽取10個樣本。所以，標準誤就由樣本標準差除以樣本量來表示。當然，這樣的結論也不是隨心所欲，而是經過了統計學家的嚴密證明的。

　　在實際的應用中，標準差主要有兩點作用，一是用來對樣本進行標準化處理，即樣本觀察值減去樣本均值，然後除以標準差，這樣就變成了標準正態分佈;而是通過標準差來確定異常值，常用的方法就是樣本均值加減n倍的標準差。標準誤的作用主要是用來做區間估計，常用的估計區間是均值加減n倍的標準誤。

　　標準偏差反映的是個體觀察值的變異，標準誤反映的是樣本均數之間的變異即樣本均數的標準差，是描述均數抽樣分佈的離散程度及衡量均數抽樣誤差大小的尺度，標準誤不是標準差，是樣本平均數的標準差。 標準誤用來衡量抽樣誤差。標準誤越小，表明樣本統計量與總體引數的值越接近，樣本對總體越有代表性，用樣本統計量推斷總體引數的可靠度越大。因此，標準誤是統計推斷可靠性的指標。

　　在相同測量條件下進行的測量稱為等精度測量，例如在同樣的條件下，用同一個遊標卡尺測量銅棒的直徑若干次，這就是等精度測量。對於等精度測量來說，還有一種更好的表示誤差的方法，就是標準誤差。

　　標準誤差定義

　　標準誤差定義為各測量值誤差的平方和的平均值的平方根，故又稱為均方誤差。

　　設n個測量值的誤差為ε1、ε2……εn，則這組測量值的標準誤差ζ等於：

　　此處為一公式，顯示不出來，你看下文字就可以知道這個公式是什麼樣的。

　　由於被測量的真值是未知數，各測量值的誤差也都不知道，因此不能按上式求得標準誤差。測量時能夠得到的是算術平均值，它最接近真值N，而且也容易算出測量值和算術平均值之差，稱為殘差記為v。理論分析表明①可以用殘差v表示有限次n次觀測中的某一次測量結果的標準誤差ζ，其計算公式為

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　　對於一組等精度測量n次測量資料的算術平均值，其誤差應該更小些。理論分析表明，它的算術平均值的標準誤差。有的書中或計算器上用符號s表示與一次測量值的標準誤差ζ之間的關係是

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　　標準誤差

　　需要注意的是，標準誤差不是測量值的實際誤差，也不是誤差範圍，它只是對一組測量資料可靠性的估計。標準誤差小，測量的可靠性大一些，反之，測量就不大可靠。進一步的分析表明，根據偶然誤差的高斯理論，當一組測量值的標準誤差為ζ時，則其中的任何一個測量值的誤差εi有68.3%的可能性是在-ζ，+ζ區間內。

　　世界上多數國家的物理實驗和正式的科學實驗報告都是用標準誤差評價資料的，現在稍好一些的計算器都有計算標準誤差的功能，因此，瞭解標準誤差是必要的。

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