初中數學函式知識點歸納整理

General 更新 2024年12月22日

  函式向來是初中數學的重頭戲,但由於難度較大,不少學生在考試時,經常在函式題上丟分嚴重。為此,以下是小編分享給大家的初中數學函式知識點,希望可以幫到你!

  初中數學一次函式知識點

  一、定義與定義式

  自變數x和因變數y有如下關係:

  y=kx+b

  則此時稱y是x的一次函式。

  特別地,當b=0時,y是x的正比例函式。即:y=kx ***k為常數,k≠0***

  二、一次函式的性質

  1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例,比值為k 即:y=kx+b ***k為任意不為零的實數 b取任何實數***

  2.當x=0時,b為函式在y軸上的截距。

  三、一次函式的影象及性質

  1.作法與圖形:通過如下3個步驟

  ***1***列表;

  ***2***描點;

  ***3***連線,可以作出一次函式的影象——一條直線。因此,作一次函式的影象只需知道2點,並連成直線即可。***通常找函式影象與x軸和y軸的交點***

  2.性質:***1***在一次函式上的任意一點P***x,y***,都滿足等式:y=kx+b。***2***一次函式與y軸交點的座標總是***0,b***,與x軸總是交於***-b/k,0***正比例函式的影象總是過原點。

  3.k,b與函式影象所在象限:

  當k>0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;

  當k<0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。

  當b>0時,直線必通過一、二象限;

  當b=0時,直線通過原點

  當b<0時,直線必通過三、四象限。

  特別地,當b=O時,直線通過原點O***0,0***表示的是正比例函式的影象。這時,當k>0時,直線只通過一、三象限;當k<0時,直線只通過二、四象限。

  四、確定一次函式的表示式

  已知點A***x1,y1***;B***x2,y2***,請確定過點A、B的一次函式的表示式。

  ***1***設一次函式的表示式***也叫解析式***為y=kx+b。

  ***2***因為在一次函式上的任意一點P***x,y***,都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程:y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②

  ***3***解這個二元一次方程,得到k,b的值。

  ***4***最後得到一次函式的表示式。

  五、一次函式在生活中的應用

  1.當時間t一定,距離s是速度v的一次函式。s=vt。

  2.當水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函式。設水池中原有水量S。g=S-ft。

  六、常用公式

  1.求函式影象的k值:***y1-y2***/***x1-x2***

  2.求與x軸平行線段的中點:|x1-x2|/2

  3.求與y軸平行線段的中點:|y1-y2|/2

  4.求任意線段的長:√***x1-x2***^2+***y1-y2***^2 ***注:根號下***x1-x2***與***y1-y2***的平方和***

  初中數學二次函式知識點總結

  I.定義與定義表示式

  一般地,自變數x和因變數y之間存在如下關係:y=ax^2+bx+c

  ***a,b,c為常數,a≠0,且a決定函式的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.***則稱y為x的二次函式。

  二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。

  II.二次函式的三種表示式

  一般式:y=ax^2+bx+c***a,b,c為常數,a≠0***

  頂點式:y=a***x-h***^2+k[拋物線的頂點P***h,k***]

  交點式:y=a***x-x₁******x-x₂***[僅限於與x軸有交點A***x₁,0***和B***x₂,0***的拋物線]

  注:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:

  h=-b/2a k=***4ac-b^2***/4a x₁,x₂=***-b±√b^2-4ac***/2a

  III.二次函式的影象

  在平面直角座標系中作出二次函式y=x^2的影象,可以看出,二次函式的影象是一條拋物線。

  IV.拋物線的性質

  1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

  對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸***即直線x=0***

  2.拋物線有一個頂點P,座標為:P***-b/2a,***4ac-b^2***/4a***當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時,P在x軸上。

  3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。

  當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。

  4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。

  當a與b同號時***即ab>0***,對稱軸在y軸左;

  當a與b異號時***即ab<0***,對稱軸在y軸右。

  5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

  拋物線與y軸交於***0,c***

  6.拋物線與x軸交點個數

  Δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

  Δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

  Δ=b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數***x=-b±√b^2-4ac的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a***

  V.二次函式與一元二次方程

  特別地,二次函式***以下稱函式***y=ax^2+bx+c,

  當y=0時,二次函式為關於x的一元二次方程***以下稱方程***,即ax^2+bx+c=0

  此時,函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。

  1.二次函式y=ax^2,y=a***x-h***^2,y=a***x-h***^2+k,y=ax^2+bx+c***各式中,a≠0***的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點座標及對稱軸如下表:

  當h>0時,y=a***x-h***^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,

  當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.

  當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

  當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

  當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

  當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a***x-h***^2+k的圖象;

  因此,研究拋物線y=ax^2+bx+c***a≠0***的圖象,通過配方,將一般式化為y=a***x-h***^2+k的形式,可確定其頂點座標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

  2.拋物線y=ax^2+bx+c***a≠0***的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點座標是***-b/2a,[4ac-b^2]/4a***.

  3.拋物線y=ax^2+bx+c***a≠0***,若a>0,當x≤-b/2a時,y隨x的增大而減小;當x≥-b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x≤-b/2a時,y隨x的增大而增大;當x≥-b/2a時,y隨x的增大而減小.

  4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點:

  ***1***圖象與y軸一定相交,交點座標為***0,c***;

  ***2***當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交於兩點A***x₁,0***和B***x₂,0***,其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

  ***a≠0***的兩根.這兩點間的距離AB=|x₂-x₁|

  當△=0.圖象與x軸只有一個交點;

  當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.

  5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0***a<0***,則當x=-b/2a時,y最小***大***值=***4ac-b^2***/4a.

  頂點的橫座標,是取得最值時的自變數值,頂點的縱座標,是最值的取值.

  6.用待定係數法求二次函式的解析式

  ***1***當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:

  y=ax^2+bx+c***a≠0***.

  ***2***當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a***x-h***^2+k***a≠0***.

  ***3***當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時,可設解析式為兩根式:y=a***x-x₁******x-x₂******a≠0***.

  7.二次函式知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為複雜的綜合題目。因此,以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現.

  初中數學學習方法

  1、配方法

  所謂配方,就是把一個解析式利用恆等變形的方法,把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恆等變形的方法,它的應用十分非常廣泛,在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函式的極值和解析式等方面都經常用到它。

  2、因式分解法

  因式分解,就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恆等變形的基礎,它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多,除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外,還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定係數等等。

  3、換元法

  換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元,所謂換元法,就是在一個比較複雜的數學式子中,用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子,使它簡化,使問題易於解決。

  4、判別式法與韋達定理

  一元二次方程ax2+bx+c=0***a、b、c屬於R,a≠0***根的判別,△=b2-4ac,不僅用來判定根的性質,而且作為一種解題方法,在代數式變形,解方程***組***,解不等式,研究函式乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

  韋達定理除了已知一元二次方程的一個根,求另一根;已知兩個數的和與積,求這兩個數等簡單應用外,還可以求根的對稱函式,計論二次方程根的符號,解對稱方程組,以及解一些有關二次曲線的問題等

  5、待定係數法

  在解數學問題時,若先判斷所求的結果具有某種確定的形式,其中含有某些待定的係數,而後根據題設條件列出關於待定係數的等式,最後解出這些待定係數的值或找到這些待定係數間的某種關係,從而解答數學問題,這種解題方法稱為待定係數法。它是中學數學中常用的方法之一。

  6、構造法

  在解題時,我們常常會採用這樣的方法,通過對條件和結論的分析,構造輔助元素,它可以是一個圖形、一個方程***組***、一個等式、一個函式、一個等價命題等,架起一座連線條件和結論的橋樑,從而使問題得以解決,這種解題的數學方法,我們稱為構造法。運用構造法解題,可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透,有利於問題的解決。

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