代發表數學論文

　　數學是研究數量、結構、變化、空間以及資訊等概念的一門學科，從某種角度看屬於形式科學的一種。下文是小編為大家整理的關於的範文，歡迎大家閱讀參考!

　　篇1

　　淺析高等數學中的數學思想

　　一、函式思想

　　函式概念和函式思想的提出和運用，使得變數數學誕生了，常量數學發展到變數數學，函式思想起了決定性作用。函式是數學分析的研究物件，函式思想就是運用函式的觀點，把常量視作變數、化靜為動、化離散為連續，將待解決的問題轉化為函式問題，運用函式的性質加以解決的一種思想方法。

　　在數學分析中，我們通常用來解決不等式的證明、方程根的存在性與個數、級數問題、數列極限等。

　　例1，證明：當x>0時，x- <1n***1+x***。

　　分析：這是一個不等式證明問題，直接證明有一定難度，但是將此問題轉化為函式問題的單調性，即可解決問題。

　　證明：構造輔助函式f***x***=1n***1+x***-x+ ，則f`***x***= -1+x，可證當x>0時，f`***x***>0，因此單調遞增。又因為f***0***=0，所以當x>0時，f***x***>f***0***=0，即原不等式成立。

　　例2，判斷∑***-1***n 的斂散性。

　　分析：這是一個級數問題，該級數為交錯級數，從函式的觀點出發，化離散為連續，轉化為函式問題，運用函式的性質，從而解決問題。

　　解：該級數為交錯級數，由萊布尼茲判別法知，要判斷其斂散性，只需判斷通項的絕對值un= =是否單調減少且趨於為0。為此，將un連續化，設f***x***= ，由於f`***x***= ，當x>9時，f`***x***<0，即f***x***在***9，+∞***內單調遞減。將特殊值x=n***n為大於9***的自然數代入知，un=f***n***也遞減且極限為0，故此級數收斂。

　　二、極限的思想

　　極限的思想方法是近代數學的一種重要思想方法，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論為主要工具來研究初等函式的一門學科。極限是研究無限的有力工具，“極限”揭示了常量與變數、有限與無限、直線與曲線、勻速運動與變速運動對立統一的關係。極限的思想方法貫穿於數學分析課程的始終，一方面利用極限的思想給出了連續函式、導數、定積分、無窮小***大***量、級數的斂散性、多元函式的偏導數、廣義積分的斂散性、重積分、曲線積分、曲線弧長、曲面積分等的概念，數學分析中幾乎所有的概念都離不開極限的思想。另一方面在閉區間列上的區間套定理體現了極限的思想，泰勒定理中的泰勒公式就是利用多項式函式去逼近已知函式等。學習者以”極限理論”為工具，以現實具體的問題為背景，從具體到抽象，特殊到一般地去理解概念及定理的本質，可以增強分析和解決問題的能力。

　　對所求量，先構造與其相關的變數，前提是該變數無限變化的結果就是所求量，此時採用極限運算得到所求量。例如邱瞬時速度、曲面弧長、曲變形面積等問題，就是採用了極限的思想。

　　例3，如果物體做非勻速直線運動，其運動規律的函式是s=f***t***，其中t為時間，s是距離，求它在時刻t0的瞬時速度。

　　解：物體從時刻到時刻這段時間內的平均速度是：

　　v= = ，當|△t|很小時，時刻t0的瞬時速度v0≈v，因此當無限趨近於0***△t≠0*** 時，就無限趨近於v0，即v0=1im =1im 。

　　三、連續的思想

　　在數學分析中，把函式的連續性區域性化到當函式的自變數在某點鄰域內作微小變動時，相應函式值也在對應點的函式值鄰域內作微小變動。

　　這種思想應用到連續函式求極限的情形，就可以把極限的複雜問題轉化為求函式值的問題，從而大大簡化了運算。如果給定的函式不連續，可以通過整理、化簡、變換等途徑將其轉化為連續函式，再利用上面的方法求其極限。

　　例4，求1im ，***a>0，a≠1***。

　　解：將給定的函式變形為1oga***1+x*** ，再根據對數函式的連續性，有1im =1im1og***1+x*** =1oga[1im***1+x*** ]=1ogae。

　　四、數形結合的思想

　　數學是研究空間形式和數量關係的科學，而空間形式和數量關係之間往往存在密切的聯絡，又有各自特點。數形結合思想方法，就是充分利用形的直觀性和數的規範性，通過數與形的聯絡轉化來研究數學物件和解決數學問題。具體包括：數轉化為形的思想;形轉化為數的思想。這種方法使得複雜問題簡單化、抽象問題具體化、形象化、直觀化，化難為易，最終找到最優解決方案。

　　數形結合的思想在數學分析課程中的應用廣泛，很多抽象問題中都蘊含著某種幾何意義，藉助幾何圖形，對抽象問題進行幾何解釋，使抽象問題結合圖形更容易深入理解，更容易掌握其最本質的知識。

　　比如：極限、曲線的漸近線、導數與微分、二元函式偏導數與全微分、定積分與重積分、反常積分***無窮積分與瑕積分***、函式的單調性、函式的凹凸性等概念的幾何意義，對於確切理解並正確掌握這些基本概念是非常重要的，同時為解決各種實際問題提供了多樣化的方法。

　　又比如：閉區間上連續函式基本性質***介值性定理、根的存在定理***、微分中值定理***羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理***、積分中值定理、費馬定理、隱函式存在唯一性定理等幾何意義，不論對定理的深入理解，還是對啟發證明定理結論方面有很大幫助。

　　例5，下面僅談談幾何圖形對拉格朗日定理的內容的理解及證明所起的作用。

　　為了敘述的方便，首先將拉格朗日定理陳述如下：若函式f滿足如下：***1***f在閉區間[a，b]上連續;***2***f在開區間***a，b***內可導，則在***a，b***內至少存在一點，使得f`******= 。

　　它的幾何意義是若一條曲線在[a，b]上連續，曲線上每一點都存在切線，則曲線上至少存在一點θ***，f*********，過點θ的切線平行於割線AB***圖1***。此定理的證明關鍵在於運用其幾何意義，考慮到這個定理比羅爾定理少了一個條件，構造輔助函式使其滿足羅爾定理的要求，即滿足函式在端點的取值相同，最後用羅爾定理得出最後的結論。因此，想辦法構造一個輔助函式F***x***，使得在[a，b]上連續，在***a，b***內可導並且F***a***=F***b***。觀察圖1可知，割線與曲線有兩個交點A與B，要使F***a***=F***b***，只需使F***x***的影象經過A，B兩點，F***x***可取為曲線縱座標與割線縱座標之差。其中，曲線的方程為y=f***x***，割線AB的方程為y=f***a***+ ***x-a***，可見，幾何圖形在此定理的證明起到關鍵的作用。

　　篇2

　　淺析數學語言在小學數學教學中的體現

　　低年級學生年齡小，語言表達能力還未完善，說話的完整性、準確性、簡潔性往往不夠。而且習慣於用生活語言來表達對數學知識的理解。在學習的初始階段，我們認為未嘗不可，但長此以往，會阻礙學生數學思維的有效發展。作為一名低年級的數學教師，就必須培養學生的數學語言表達能力，充分挖掘學生的潛能，從而促進思維能力的發展。在課堂教學中，讓學生不但想說、敢說，而且能說、會說。那如何培養學生的數學語言表達能力呢?

　　一、注重對數學語言學習的過程

　　1.善於推敲敘述語言的關鍵詞句。例如平行線的概念“在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線”中的關鍵詞句有：“在同一平面內”，“不相交”，“兩條直線”。教學時要著重說明平行線是反映直線之間的相互位置關係的，不能孤立地說某一條直線是平行線;要強調“在同一平面內”這個前提，可讓學生觀察不在同一平面內的兩條直線也不相交;通過延長直線使學生理解“不相交”的正確含義。這樣通過對關鍵詞句的推敲、變更、刪簡，使學生認識到“在同一平面內”、“不相交的兩條直線”這些關鍵詞句不可欠缺，從而加深對平行線的理解。

　　2.深入探究符號語言的數學意義。符號語言是敘述語言的符號化，在引進一個新的數學符號時，首先要向學生介紹各種有代表性的具體模型，形成一定的感性認識;然後再根據定義，離開具體的模型對符號的實質進行理性的分析，使學生在抽象的水平上真正掌握概念***內涵和外延***;最後又重新回到具體的模型，這裡具體的模型在數學符號的教學中具有雙重意義：一是作為一般化的起點，為引進抽象符號做準備，二是作為特殊化的途徑，便於符號的應用。

　　3.合理破譯圖形語言的數形關係。例如：長方體的表面積教學，學生初次接觸空間圖形的平面直觀圖——這種特殊的圖形語言，學生難於理解，教學時可採用以下步驟進行操作：①從模型到圖形，即根據具體的模型畫出直觀圖;②從圖形到模型，即根據所畫的直觀圖，用具體的模型表現出來，這樣的設計重在建立圖形與模型之間的視覺聯絡，為學生提供充分的感性認識，並使它們熟悉直觀圖的畫法結構和特點;③從圖形到符號，即把已有的直觀圖中的各種位置關係用符號表示;④從符號到圖形，即根據符號所表示的條件，準確地畫出相應的直觀圖。這兩步設計是為了建立影象語言與符號語言之間的對應關係，利用圖形語言來輔助思維，利用符號語言來表達思維。

　　二、注重概念教學的數學語言訓練

　　數學語言以嚴謹清晰，精練準確而著稱。掌握數學語言是學習數學知識的基矗一方面，數學語言既是數學知識的重要組成部分，又是數學知識的載體。各種定義、定理、公式、法則和性質等無不是通過數學語言來表述的。離開了數學語言，數學知識就成了“水中月，鏡中花”。另一方面，數學知識是數學語言的內涵，學生對數學知識的理解、掌握，實質是對數學語言的理解、掌握。一個對數學語言不能理解的人是絕對談不上對數學知識有什麼理解的。

　　三、教學語言親切，富有情感

　　教師在教學中，無論是講授知識，還是對待學生，語言都應親切，富有情感。特別是對待差生，更應做到這一點，以此維護他們的自尊心，激勵他們的上進心，應細心尋找他們的“閃光點”，從而給予“表揚和鼓勵”，使他們感到自己的進步，激發他們的學習動機。即使錯了，也用委婉的話語指出其不

　　足。表揚、激勵、鼓舞都必須有的放矢，不失分寸。相反，教師如果對學生的錯誤過多地批評、指責、甚至諷刺、挖苦，那就會使學生失掉學習數學的信心，由厭惡數學老師到厭惡數學學科，這不能不說是教學的失敗。

　　四、教學過程的數學教學 語言應科學嚴謹

　　數學是科學性和邏輯性很強的一門學科。小學數學是學好中學數、理、化的基礎，也是今後學好科學 文化 知識的基礎; 因此，小學數學的教學語言應該是科學和嚴密的。

　　有的教師教學語言不夠科學，也不夠嚴密。例如：在教學“三角形的初步認識”這節課時，當教師對三角 形下定義時，說：“由三條邊組成的圖形是三角形。”這是不嚴密的，因為三條邊組成的圖形可能是三條不相 交的直線。這樣說才是正確的：“由三條邊圍成的圖形是三角形。”

　　五、小學數學教學語言應鼓勵學生學習的積極性

　　教師在課堂上，應該經常用一些鼓勵性的語言，使學生能夠自覺主動的學習。例如，在講“一位數除三位 數”的教學中，教師出示題：428÷2，教師說：“根據這道題的特點和一位數除兩位數的計算方法，你有勇氣 獨立完成這道題嗎?”當全班學生都做對時，教師又說：“你們真聰明!”這樣的語言對學生的學習積極性是 很大的鼓舞和推動，而且師生的情感得到 發展。“老師對我們真好，我可喜歡學數學了。”“我非常願意學數 學。” 有很多教師願意把學生分為好學生、中等學生和差學生，這是從學習成績來分的。我們不妨這樣分：對學習有興趣的，積極主動學習的學生;對學習興趣不大， 但比較聽話，老師讓我學，我就學，被動學習的學生;再就是對學習一點興趣也沒有，或學習有困難的學生。 學習有困難的學生，對學習不感興趣的學生和被動學習的學生，有時會對學習採取冷漠的態度，教師就要以滿 腔的熱情去溫暖這些冷漠的心，讓他們逐漸解凍，恢復活力。

　　總之，低年級學生數學語言表達能力的培養，並非一朝一夕之功。只有從一年級起就重視培養學生數學語言的規範性，在教學中儘可能給學生多創造一些“說”的機會，讓學生能“說”。凡學生能說的，都應該放心地讓學生去說。真正實現人人學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發展。