對稱問題分類探析
General 更新 2024年11月20日
對稱問題是高中數學的重要內容之一，在高考數學試題中常出現一些構思新穎解法靈活的對稱問題，為使對稱問題的知識系統化，本文特作以下歸納。
一、點關於已知點或已知直線對稱點問題
1、設點P***x，y***關於點***a，b***對稱點為P′***x′，y′***，
x′=2a-x
由中點座標公式可得：y′=2b-y
2、點P***x，y***關於直線L：Ax+By+C=O的對稱點為
x′=x-***Ax+By+C***
P′***x′，y′***則
y′=y-***AX+BY+C***
事實上：∵PP′⊥L及PP′的中點在直線L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C
解此方程組可得結論。
特別地，點P***x，y***關於
1、x軸和y軸的對稱點分別為***x，-y***和***-x，y***
2、直線x=a和y=a的對標點分別為***2a-x，y***和***x，2a-y***
3、直線y=x和y=-x的對稱點分別為***y，x***和***-y，-x***
例1光線從A***3，4***發出後經過直線x-2y=0反射，再經過y軸反射，反射光線經過點B***1，5***，求射入y軸後的反射線所在的直線方程。
解：如圖，由公式可求得A關於直線x-2y=0的對稱點
`C***0，***
`直線BC的方程為：5x-6y+25=0
二、曲線關於已知點或已知直線的對稱曲線問題
求已知曲線F***x，y***=0關於已知點或已知直線的對稱曲線方程時，只須將曲線F***x，y***=O上任意一點***x，y***關於已知點或已知直線的對稱點的座標替換方程F***x，y***=0中相應的作稱即得，由此我們得出以下結論。
1、曲線F***x，y***=0關於點***a，b***的對稱曲線的方程是F***2a-x，2b-y***=0
2、曲線F***x，y***=0關於直線Ax+By+C=0對稱的曲線方程是F***x-***Ax+By+C***，y-***Ax+By+C******=0
特別地，曲線F***x，y***=0關於
***1***x軸和y軸對稱的曲線方程分別是F***x，-y***和F***-x，y***=0
***2***關於直線x=a和y=a對稱的曲線方程分別是F***2a-x，y***=0和F***x，2a-y***=0
***3***關於直線y=x和y=-x對稱的曲線方程分別是F***y，x***=0和F***-y，-x***=0
除此以外還有以下兩個結論：對函式y=f***x***的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，並作關於y軸的對稱圖象得到y=f***|x|***的圖象;保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y=|f***x***|的圖象。
例2***全國高考試題***設曲線C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動t，s單位長度後得曲線C1：
1***寫出曲線C1的方程
2***證明曲線C與C1關於點A***，***對稱。
***1***解知C1的方程為y=***x-t***3-***x-t***+s
***2***證明在曲線C上任取一點B***a，b***，設B1***a1，b1***是B關於A的對稱點，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：
s-b1=***t-a1***3-***t-a1***
`b1=***a1-t***3-***a1-t***+s
`B1***a1，b1***滿足C1的方程
`B1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點關於點A的對稱點在曲線C上
`曲線C和C1關於a對稱
我們用前面的結論來證：點P***x，y***關於A的對稱點為P1***t-x，s-y***，為了求得C關於A的對稱曲線我們將其座標代入C的方程，得：s-y=***t-x***3-***t-x***
`y=***x-t***3-***x-t***+s
此即為C1的方程，`C關於A的對稱曲線即為C1。
三、曲線本身的對稱問題
曲線F***x，y***=0為***中心或軸***對稱曲線的充要條件是曲線F***x，y***=0上任意一點P***x，y******關於對稱中心或對稱軸***的對稱點的座標替換曲線方程中相應的座標後方程不變。
例如拋物線y2=-8x上任一點p***x，y***與x軸即y=0的對稱點p′***x，-y***，其座標也滿足方程y2=-8x，`y2=-8x關於x軸對稱。
例3方程xy2-x2y=2x所表示的曲線：
A、關於y軸對稱B、關於直線x+y=0對稱
C、關於原點對稱D、關於直線x-y=0對稱
解：在方程中以-x換x，同時以-y換y得
***-x******-y***2-***-x***2***-y***=-2x，即xy2-x2y=2x方程不變
`曲線關於原點對稱。
函式圖象本身關於直線和點的對稱問題我們有如下幾個重要結論：
1、函式f***x***定義線為R，a為常數，若對任意x∈R，均有f***a+x***=f***a-x***，則y=f***x***的圖象關於x=a對稱。
這是因為a+x和a-x這兩點分別列於a的左右兩邊並關於a對稱，且其函式值相等，說明這兩點關於直線x=a對稱，由x的任意性可得結論。
例如對於f***x***若t∈R均有f***2+t***=f***2-t***則f***x***圖象關於x=2對稱。若將條件改為f***1+t***=f***3-t***或f***t***=f***4-t***結論又如何呢?第一式中令t=1+m則得f***2+m***=f***2-m***;第二式中令t=2+m，也得f***2+m***=f***2-m***，所以仍有同樣結論即關於x=2對稱，由此我們得出以下的更一般的結論：
2、函式f***x***定義域為R，a、b為常數，若對任意x∈R均有f***a+x***=f***b-x***，則其圖象關於直線x=對稱。
我們再來探討以下問題：若將條件改為f***2+t***=-f***2-t***結論又如何呢?試想如果2改成0的話得f***t***=-f***t***這是奇函式，圖象關於***0，0***成中心對稱，現在是f***2+t***=-f***2-t***造成了平移，由此我們猜想，圖象關於M***2，0***成中心對稱。如圖，取點A***2+t，f***2+t******其關於M***2，0***的對稱點為A′***2-x，-f***2+x******
∵-f***2+X***=f***2-x***`A′的座標為***2-x，f***2-x******顯然在圖象上
`圖象關於M***2，0***成中心對稱。
若將條件改為f***x***=-f***4-x***結論一樣，推廣至一般可得以下重要結論：
3、f***X***定義域為R，a、b為常數，若對任意x∈R均有f***a+x***=-f***b-x***，則其圖象關於點M***，0***成中心對稱。
作者簡介
潭玉石：2001—2006年在湖南省一重點中學任校長，2006年至今任中山市楊仙逸中學校長。中學數學特級教師，廣東省普通中學教學水平評估專家。
文理科函式考試改動部分
高考數學制勝法寶揭祕
一、點關於已知點或已知直線對稱點問題
1、設點P***x，y***關於點***a，b***對稱點為P′***x′，y′***，
x′=2a-x
由中點座標公式可得：y′=2b-y
2、點P***x，y***關於直線L：Ax+By+C=O的對稱點為
x′=x-***Ax+By+C***
P′***x′，y′***則
y′=y-***AX+BY+C***
事實上：∵PP′⊥L及PP′的中點在直線L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C
解此方程組可得結論。
特別地，點P***x，y***關於
1、x軸和y軸的對稱點分別為***x，-y***和***-x，y***
2、直線x=a和y=a的對標點分別為***2a-x，y***和***x，2a-y***
3、直線y=x和y=-x的對稱點分別為***y，x***和***-y，-x***
例1光線從A***3，4***發出後經過直線x-2y=0反射，再經過y軸反射，反射光線經過點B***1，5***，求射入y軸後的反射線所在的直線方程。
解：如圖，由公式可求得A關於直線x-2y=0的對稱點
`C***0，***
`直線BC的方程為：5x-6y+25=0
二、曲線關於已知點或已知直線的對稱曲線問題
求已知曲線F***x，y***=0關於已知點或已知直線的對稱曲線方程時，只須將曲線F***x，y***=O上任意一點***x，y***關於已知點或已知直線的對稱點的座標替換方程F***x，y***=0中相應的作稱即得，由此我們得出以下結論。
1、曲線F***x，y***=0關於點***a，b***的對稱曲線的方程是F***2a-x，2b-y***=0
2、曲線F***x，y***=0關於直線Ax+By+C=0對稱的曲線方程是F***x-***Ax+By+C***，y-***Ax+By+C******=0
特別地，曲線F***x，y***=0關於
***1***x軸和y軸對稱的曲線方程分別是F***x，-y***和F***-x，y***=0
***2***關於直線x=a和y=a對稱的曲線方程分別是F***2a-x，y***=0和F***x，2a-y***=0
***3***關於直線y=x和y=-x對稱的曲線方程分別是F***y，x***=0和F***-y，-x***=0
除此以外還有以下兩個結論：對函式y=f***x***的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保留y軸右邊的圖象，並作關於y軸的對稱圖象得到y=f***|x|***的圖象;保留x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y=|f***x***|的圖象。
例2***全國高考試題***設曲線C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動t，s單位長度後得曲線C1：
1***寫出曲線C1的方程
2***證明曲線C與C1關於點A***，***對稱。
***1***解知C1的方程為y=***x-t***3-***x-t***+s
***2***證明在曲線C上任取一點B***a，b***，設B1***a1，b1***是B關於A的對稱點，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：
s-b1=***t-a1***3-***t-a1***
`b1=***a1-t***3-***a1-t***+s
`B1***a1，b1***滿足C1的方程
`B1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點關於點A的對稱點在曲線C上
`曲線C和C1關於a對稱
我們用前面的結論來證：點P***x，y***關於A的對稱點為P1***t-x，s-y***，為了求得C關於A的對稱曲線我們將其座標代入C的方程，得：s-y=***t-x***3-***t-x***
`y=***x-t***3-***x-t***+s
此即為C1的方程，`C關於A的對稱曲線即為C1。
三、曲線本身的對稱問題
曲線F***x，y***=0為***中心或軸***對稱曲線的充要條件是曲線F***x，y***=0上任意一點P***x，y******關於對稱中心或對稱軸***的對稱點的座標替換曲線方程中相應的座標後方程不變。
例如拋物線y2=-8x上任一點p***x，y***與x軸即y=0的對稱點p′***x，-y***，其座標也滿足方程y2=-8x，`y2=-8x關於x軸對稱。
例3方程xy2-x2y=2x所表示的曲線：
A、關於y軸對稱B、關於直線x+y=0對稱
C、關於原點對稱D、關於直線x-y=0對稱
解：在方程中以-x換x，同時以-y換y得
***-x******-y***2-***-x***2***-y***=-2x，即xy2-x2y=2x方程不變
`曲線關於原點對稱。
函式圖象本身關於直線和點的對稱問題我們有如下幾個重要結論：
1、函式f***x***定義線為R，a為常數，若對任意x∈R，均有f***a+x***=f***a-x***，則y=f***x***的圖象關於x=a對稱。
這是因為a+x和a-x這兩點分別列於a的左右兩邊並關於a對稱，且其函式值相等，說明這兩點關於直線x=a對稱，由x的任意性可得結論。
例如對於f***x***若t∈R均有f***2+t***=f***2-t***則f***x***圖象關於x=2對稱。若將條件改為f***1+t***=f***3-t***或f***t***=f***4-t***結論又如何呢?第一式中令t=1+m則得f***2+m***=f***2-m***;第二式中令t=2+m，也得f***2+m***=f***2-m***，所以仍有同樣結論即關於x=2對稱，由此我們得出以下的更一般的結論：
2、函式f***x***定義域為R，a、b為常數，若對任意x∈R均有f***a+x***=f***b-x***，則其圖象關於直線x=對稱。
我們再來探討以下問題：若將條件改為f***2+t***=-f***2-t***結論又如何呢?試想如果2改成0的話得f***t***=-f***t***這是奇函式，圖象關於***0，0***成中心對稱，現在是f***2+t***=-f***2-t***造成了平移，由此我們猜想，圖象關於M***2，0***成中心對稱。如圖，取點A***2+t，f***2+t******其關於M***2，0***的對稱點為A′***2-x，-f***2+x******
∵-f***2+X***=f***2-x***`A′的座標為***2-x，f***2-x******顯然在圖象上
`圖象關於M***2，0***成中心對稱。
若將條件改為f***x***=-f***4-x***結論一樣，推廣至一般可得以下重要結論：
3、f***X***定義域為R，a、b為常數，若對任意x∈R均有f***a+x***=-f***b-x***，則其圖象關於點M***，0***成中心對稱。
作者簡介
潭玉石：2001—2006年在湖南省一重點中學任校長，2006年至今任中山市楊仙逸中學校長。中學數學特級教師，廣東省普通中學教學水平評估專家。
高考數學制勝法寶揭祕