一元二次方程初三數學單元試題附答案詳解***2***

　　【專題】壓軸題.

　　【分析】根據日曆上數字規律得出，圈出的9個數，最大數與最小數的差為16，以及利用最大數與最小數的積為192，求出兩數，再利用上下對應數字關係得出其他數即可.

　　【解答】解：根據圖象可以得出，圈出的9個數，最大數與最小數的差為16，設最小數為：x，則最大數為x+16，根據題意得出：

　　x***x+16***=192，

　　解得：x1=8，x2=﹣24，***不合題意捨去***，

　　故最小的三個數為：8，9，10，

　　下面一行的數字分別比上面三個數大7，即為：15，16，17，

　　第3行三個數，比上一行三個數分別大7，即為：22，23，24，

　　故這9個數的和為：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.

　　故選：D.

　　【點評】此題主要考查了數字變化規律以及一元二次方程的解法，根據已知得出最大數與最小數的差為16是解題關鍵.

　　二、填空題

　　11.一元二次方程x2﹣3=0的根為　x1= ，x2=﹣ 　.

　　【考點】解一元二次方程-直接開平方法.

　　【分析】直接解方程得出答案，注意用直接開平方法.

　　【解答】解：x2﹣3=0，

　　x2=3，

　　x= ，

　　x1= ，x2=﹣ .

　　故答案為：x1= ，x2=﹣ .

　　【點評】此題主要考查了直接開平方法解方程，題目比較典型，是中考中的熱點問題.

　　12.如果***x2+y2******x2+y2﹣2***=3，則x2+y2的值是　3　.

　　【考點】換元法解一元二次方程.

　　【專題】換元法.

　　【分析】先設x2+y2=t，則方程即可變形為t***t﹣2***=3，解方程即可求得t即x2+y2的值.

　　【解答】解：設x2+y2=t***t≥0***.則原方程可化為：

　　t***t﹣2***=3，即***t﹣3******t+1***=0，

　　∴t﹣3=0或t+1=0，

　　解得t=3，或t=﹣1***不合題意，捨去***;

　　故答案是：3.

　　【點評】本題考查了換元法﹣﹣解一元二次方程.解答該題時需注意條件：x2+y2=t且t≥0.

　　13.已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+3=0兩個實數根，則 的值為　10　.

　　【考點】根與係數的關係.

　　【分析】根據 = = = ，

　　根據一元二次方程根與係數的關係可得：兩根之積與兩根之和的值，代入上式計算即可.

　　【解答】解：∵x1、x2是方程x2+6x+3=0的兩個實數根，

　　∴x1+x2=﹣6，

　　x1•x2=3.

　　又∵ =

　　=

　　= ，

　　將x1+x2=﹣6，x1•x2=3代入上式得

　　原式= =10.

　　故填空答案為10.

　　【點評】將根與係數的關係與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法.

　　14.已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根，則 + 等於　﹣2　.

　　【考點】根與係數的關係.

　　【專題】計算題.

　　【分析】根據一元二次方程ax2+bx+c=0***a≠0***的根與係數的關係得到x1+x2=2，x1•x2=1，然後變形 + 得 ，再把x1+x2=2，x1•x2=﹣1整體代入計算即可.

　　【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的兩個根，

　　∴x1+x2=2，x1•x2=﹣1，

　　∴ + = =﹣2.

　　故答案為﹣2.

　　【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0***a≠0***的根與係數的關係：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣ ，x1•x2= .也考查了一元二次方程的根的判別式.

　　15.若x1，x2是方程3x2﹣|x|﹣4=0的兩根，則 =　 　.

　　【考點】根與係數的關係.

　　【分析】首先假設x>0或x<0分別討論，再利用所求根代入得出即可.

　　【解答】解：當x>0，

　　則3x2﹣|x|﹣4=0，可變形為：3x2﹣x﹣4=0，

　　解得：x1= ，x2=﹣1***不合題意捨去***，

　　當x<0，

　　則3x2﹣|x|﹣4=0，可變形為：3x2+x﹣4=0，

　　解得：x1=﹣ ，x2=1***不合題意捨去***，

　　則 = ，

　　故答案為： .

　　【點評】此題主要考查了絕對值的性質以及一元二次方程的解法，根據已知利用分類討論得出是解題關鍵.

　　16.為解決群眾看病難的問題，一種藥品連續兩次降價，每盒的價格由原來的60元降至48.6元，則平均每次降價的百分率為　10　%.

　　【考點】一元二次方程的應用.

　　【專題】增長率問題.

　　【分析】降低後的價格=降低前的價格×***1﹣降低率***，如果設平均每次降價的百分率是x，則第一次降低後的價格是60***1﹣x***，那麼第二次後的價格是60***1﹣x***2，即可列出方程求解.

　　【解答】解：設平均每次降價的百分率為x，依題意列方程：60***1﹣x***2=48.6，

　　解方程得x1=0.1=10%，x2=1.9***捨去***.

　　故平均每次降價的百分率為10%.

　　【點評】本題比較簡單，考查的是一元二次方程在實際生活中的運用，屬較簡單題目.

　　三、解答題***共52分***

　　17.解下列方程：

　　***1***2x2﹣4x﹣5=0.

　　***2***x2﹣4x+1=0.

　　***3******y﹣1***2+2y***1﹣y***=0.

　　【考點】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法;解一元二次方程-公式法.

　　【專題】計算題.

　　【分析】***1***先計算判別式的值，然後利用求根公式法解方程;

　　***2***先利用配方法得到***x﹣2***2=3，然後利用直接開平方法解方程;

　　***3***先變形得到***y﹣1***2﹣2y***y﹣1***=0，然後利用因式分解法解方程.

　　【解答】解：***1***△=***﹣4***2﹣4×2×***﹣5***=56，

　　x= = ，

　　所以x1= ，x2= ;

　　***2***x2﹣4x+4=3，

　　***x﹣2***2=3，

　　x﹣2=± ，

　　所以x1=2+ ，x2=2﹣ ;

　　***3******y﹣1***2﹣2y***y﹣1***=0，

　　***y﹣1******y﹣1﹣2y***=0，

　　y﹣1=0或y﹣1﹣2y=0，

　　所以y1=1，y2=﹣1.

　　【點評】本題考查瞭解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那麼這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了***數學轉化思想***.也考查了配方法和公式法解一元二次方程.

　　18.試說明不論x，y取何值，代數式x2+y2+6x﹣4y+15的值總是正數.

　　【考點】配方法的應用;非負數的性質：偶次方.

　　【分析】此題考查了配方法求最值，此題可化為2個完全平方式與一個常數的和的形式.

　　【解答】解：將原式配方得，

　　***x﹣2***2+***y+3***2+2，

　　∵它的值總不小於2;

　　∴代數式x2+y2+6x﹣4y+15的值總是正數.

　　【點評】此題考查了配方法的應用，解題的關鍵是認真審題，準確配方.

　　19.已知實數，滿足a2+a﹣2=0，求 的值.

　　【考點】分式的化簡求值;解一元二次方程-因式分解法.

　　【專題】計算題.

　　【分析】先解關於a的一元二次方程，求出a的值，並把所給的分式化簡，然後把a的值代入化簡後的式子計算就可以了.

　　【解答】解：原式=

　　=

　　= ，

　　∵a2+a﹣2=0，

　　∴a1=1，a2=﹣2，

　　∵a1=1時，分母=0，

　　∴a1=1***捨去***，

　　當a2=﹣2，原式= =2.

　　【點評】這是關於分式化簡求值的問題，注意解出a的值必須保證分式有意義，才能代入計算.

　　20.在實數範圍內定義一種新運算“△”，其規則為：a△b=a2﹣b2，根據這個規則：

　　***1***求4△3的值;

　　***2***求***x+2***△5=0中x的值.

　　【考點】解一元二次方程-直接開平方法.

　　【專題】新定義.

　　【分析】***1***根據規則為：a△b=a2﹣b2，代入相應資料可得答案;

　　***2***根據公式可得***x+2***△5=***x+2***2﹣52=0，再利用直接開平方法解一元二次方程即可.

　　【解答】解：***1***4△3=42﹣32=16﹣9=7;

　　***2***由題意得***x+2***△5=***x+2***2﹣52=0，

　　***x+2***2=25，

　　兩邊直接開平方得：x+2=±5，

　　x+2=5，x+2=﹣5，

　　解得：x1=3，x2=﹣7.

　　【點評】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數的項移到等號的左邊，把常數項移項等號的右邊，化成x2=a***a≥0***的形式，利用數的開方直接求解.

　　21.已知關於x的方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的兩根x1，x2，且x12+x22= ，試求m的值.

　　【考點】根與係數的關係.

　　【分析】首先根據一元二次方程根與係數得到兩根之和和兩根之積，然後把x12+x22轉換為***x1+x2***2﹣2x1x2，然後利用前面的等式即可得到關於m的方程，解方程即可求出結果.

　　【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣mx﹣2m+1=0的兩個實數根，

　　∴x1+x2= m，x1x2= ***﹣2m+1***，

　　∵x12+x22=***x1+x2***2﹣2x1x2= ，

　　∴ m2﹣2× ***﹣2m+1***= ，

　　解得：m1=3，m2=﹣11，

　　又∵方程x2﹣mx+2m﹣1=0有兩個實數根，

　　∴△=m2﹣4×2×***﹣2m+1***≥0，

　　∴當m=﹣11時，

　　△=﹣73<0，捨去;

　　故符合條件的m的值為m=3.

　　【點評】此題主要考查了根與係數的關係，將根與係數的關係與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法.通過變形可以得到關於待定係數的方程解決問題.

　　22.如圖所示，在長和寬分別是a、b的矩形紙片的四個角都剪去一個邊長為x的正方形.

　　***1***用a，b，x表示紙片剩餘部分的面積;

　　***2***當a=6，b=4，且剪去部分的面積等於剩餘部分的面積時，求正方形的邊長.

　　【考點】一元二次方程的應用.

　　【專題】幾何圖形問題.

　　【分析】***1***邊長為x的正方形面積為x2，矩形面積減去4個小正方形的面積即可.

　　***2***依據剪去部分的面積等於剩餘部分的面積，列方程求出x的值即可.

　　【解答】解：***1***ab﹣4x2;

　　***2***依題意有：ab﹣4x2=4x2，

　　將a=6，b=4，代入上式，得x2=3，

　　解得x1= ，x2=﹣ ***捨去***.

　　即正方形的邊長為

　　【點評】本題是利用方程解答幾何問題，充分體現了方程的應用性.

　　依據等量關係“剪去部分的面積等於剩餘部分的面積”，建立方程求解.

　　23.某水果批發商場銷售一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經市場調查發現，在進貨價不變的情況下.若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克.

　　***1***現該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那麼每千克應漲價多少元?

　　***2***每千克水果漲價多少元時，商場每天獲得的利潤最大?獲得的最大利潤是多少元?

　　【考點】二次函式的應用;一元二次方程的應用.

　　【分析】***1***關鍵是根據題意列出一元二次方程，然後求出其解，最後根據題意確定其值.

　　***2***根據題意列出二次函式解析式，然後轉化為頂點式，最後求其最值.

　　【解答】解：***1***設每千克應漲價x元，由題意，得

　　***10+x******500﹣20x***=6000，

　　整理，得 x2﹣15x+50=0，

　　解得：x=5或x=10，

　　∴為了使顧客得到實惠，所以x=5.

　　***2***設漲價x元時總利潤為y，由題意，得

　　y=10+x******500﹣20x***

　　y=﹣20x2+300x+5 000

　　y=﹣20***x﹣7.5***2+6125

　　∴當x=7.5時，y取得最大值，最大值為6125元.

　　答：***1***要保證每天盈利6000元，同時又使顧客得到實惠，那麼每千克應漲價5元;

　　***2***若該商場單純從經濟角度看，每千克這種水果漲價7.5元，能使商場獲利最多為6125元.

　　【點評】考查了二次函式的應用，求二次函式的最大***小***值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是後兩種方法，當二次係數a的絕對值是較小的整數時，用配方法較好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比較簡單.