什麼是良序集良序集的性質

　　設集合***S,≤***為一全序集，≤是其偏序關係，若對任意的S的非空子集，在其序下都有最小元素，則稱≤為良序關係，***S,≤***為良序集。以下是由小編整理關於什麼是良序集的內容，希望大家喜歡!

　　良序集的的例子及反例

　　1、自然數集在通常序下是良序集。

　　2、整數集在通常序下不是良序集，例如該集合本身就沒有一個最小元素。

　　3、整數的下列關係R是良序的：x R y，當且僅當下列條件之一成立：

　　x=0;

　　x是正數，而y是負數;

　　x和y都是正數，而x≤y;

　　x和y都是負數，而y≤x。

　　這個序關係可以表示為：

　　0 1 2 3 4 …… -1 -2 -3 -4 -5 ……

　　4、實數集在通常序下不是良序集。

　　良序集的性質

　　在良序集合中，除了整體上最大的那個***如果存在的話***，所有的元素都有一個唯一的後繼元：比它大的元素組成的集合中，最小的元素。但是，除整體最小元之外的所有元素不一定都有前驅元。例如，“良序的例子和反例”一節第三個例子中的良序集中，-1並不是最小元，但仍然沒有前驅元。

　　任何良序集合，都序同構於一個唯一的序數，稱為這個集合的序型。該集合中的每個元素都對應著一個比其序型小的序數。

　　良序集的等價條件

　　對全序集***S,≤***，下列命題是等價的：

　　***1******S,≤***是良序集，即其所有非空子集合都有最小元素。

　　***2***超限歸納法在整個全序集***S,≤***上成立。

　　***3******S,≤***上的所有嚴格遞減序列必定在有限多步驟內終止***假定依賴選擇公理***。

　　證明：使用迴圈證明法。

　　***1***→***2***：反設超限歸納法在***S,≤***上不成立，則存在一個性質φ，使得對S中任意元素x，只要φ對S中小於x的任何元素都成立，那麼φ對x也成立，然而φ並非對S中所有元素都成立，即S中所有不滿足φ的元素組成的集合A是非空集，則A在序關係≤下不可能有最小元素，否則該最小元素應滿足φ，矛盾。

　　***2***→***3***：對序列的首項使用超限歸納法，則結論是顯然的。

　　***3***→***1******依賴選擇公理***：對S的任一非空子集A，用選擇公理每次從A中選出一個元素，使得從第二次開始每次選出的元素都比前一次的小，則選出的所有元素構成一嚴格遞減序列，該序列必定在有限步內終止，但序列終止的唯一可能是選出了一個元素x使得A中沒有比x小的元素，從而x是A中的最小元素。

良序集的性質