韋達符號代數是什麼?

General 更新 2024-12-23

代數學的符號代數

最終確立是由法國數學家韋達完成的。他的《分析術入門》被西方數學史家推崇為第一部符號代數學。在本書中，他自覺地、系統地運用字母代替數字，用輔音字母表示已知數，用元音字母表示未知數。韋達還明確指出代數與算術的區別，前者是“類的算術”（施行於事物的類和形式的運算），後者是“數的算術”。於是代數學更帶有普遍性，形式更抽象，應用更廣泛。在稍後的工作裡，韋達改進了三次、四次方程的解法。他還對n二2，3的情形，建立了方程的根與係數之間的關係，即現在被稱為韋達定理的結果。後來笛卡兒改進了韋達創造的符號系統，用a，b，c，…表示已知量，x，y，z，…表示未知量。當代所使用的大多數代數符號到17世紀中葉已基本確立。17－18世紀中期，代數學被理解為在代數符號上進行計算的科學，用來研究與解方程有關的問題。這個時期最好的教科書之一是歐拉的《代數學入門》（1770），其內容包括整數、分數和小數、方根、對數、一次到四次代數方程、級數、牛頓二項式和丟番圖分析等，是對16世紀中期發展起來的符號代數學的系統總結。18世紀對代數學的研究時常要服從分析學的需要，許多人甚至把分析看作代數的延伸。其實這一時期代數學的發展為19世紀的革命性變化奠定了基礎。高斯研究了複數及其運算的幾何表示，給出代數基本定理的第一個證明（1799）。法國數學家拉格朗日、旺德蒙德和意大利數學家魯菲尼等研究五次以上代數方程的解法，發現根的有理函數與根置換對方程性質的深刻影響，開始認識到五次以上的代數方程用根式求解的不可能性。在19世紀，代數學發生了革命性的變革。首先是挪威數學家阿貝爾證明了（1824－1826）五次以上的一般代數方程不可能用根式求解，並實質上引進了域和在給定域中不可約多項式這兩個概念。緊接著（1832），法國數學家伽羅瓦對於高次方程是否能用根式求解問題給出更徹底的解答。他引進了置換群的正規子群、數域的擴域、群的同構等概念，證明了由方程的根的某些置換所構成的群（即伽羅瓦群）的可解性是方程根式可解的充分必要條件。伽羅瓦的工作並沒有立即為人們所瞭解和接受，直到1870年才由法國數學家若爾當在他的著作《置換與代數方程》中給出第一個全面而清晰的闡述，他還補充了自己的新成果，這部著作大大地推進了置換群論的研究。

弗朗索瓦·韋達的主要貢獻

韋達最重要的貢獻是對代數學的推進，他最早系統地引入代數符號，推進了方程論的發展。韋達用“分析”這個詞來概括當時代數的內容和方法。他創設了大量的代數符號，用字母代替未知數，系統闡述並改良了三、四次方程的解法，指出了根與係數之間的關係。給出三次方程不可約情形的三角解法。著有《分析方法入門》、《論方程的識別與訂正》等多部著作。由於韋達做出了許多重要貢獻，後成為十六世紀法國最傑出的數學家之一。

韋達的人物簡介

韋達1540年生於法國的普瓦圖（Poitou）, 今旺代省的豐特奈 -勒孔特(Fontenay.-le-Comte)。1603年12月13日卒於巴黎。年輕時學習法律並當過律師。後從事政治活動，當過議會的議員。在對西班牙的戰爭中，曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力於數學研究，第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數學理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發現了方程根與係數之間的關係（所以人們把敘述一元二次方程根與係數關係的結論稱為“韋達定理”）。韋達從事數學研究只是出於愛好，然而他卻完成了代數和三角學方面的鉅著。他的《應用於三角形的數學定律》（1579年）是韋達最早的數學專著之一，可能是西歐第一部論述6種三角形函數解平面和球面三角形方法的系統著作。他被稱為現代代數符號之父。韋達還專門寫了一篇論文截角術，初步討論了正弦，餘弦，正切弦的一般公式，首次把代數變換應用到三角學中。他考慮含有倍角的方程，具體給出了將COS(nx)表示成COS(x)的函數並給出當n≤11等於任意正整數的倍角表達式了。

幾何有完整的公理體系，代數學有嗎

代數分為初等代數和高等代數兩種。

初等代數

作為中學數學課程主要內容的初等代數，其中心內容是方程理論。代數一詞的拉丁文原意是“歸位”。代數方程理論在初等代數中是由一元一次方程向兩個方面擴展的：其一是增加未知數的個數，考察由有幾個未知數的若干個方程所構成的二元或三元方程組(主要是一次方程組)；其二是增高未知量的次數，考察一元二次方程或準二次方程。初等代數的主要內容在16世紀便已基本上發展完備了。

古巴比倫(公元前19世紀～前17世紀)解決了一次和二次方程問題，歐幾里得的《原本》(公元前4世紀)中就有用幾何形式解二次方程的方法。我國的《九章算術》(公元1世紀)中有三次方程和一次聯立方程組的解法，並運用了負數。3世紀的丟番圖用有理數求一次、二次不定方程的解。13世紀我國出現的天元術(李冶《測圓海鏡》)是有關一元高次方程的數值解法。16世紀意大利數學家發現了三次和四次方程的解法。

代數學符號發展的歷史，可分為三個階段。第一個階段為三世紀之前，對問題的解不用縮寫和符號，而是寫成一篇論文，稱為文字敘述代數。第二個階段為三世紀至16世紀，對某些較常出現的量和運算採用了縮寫的方法，稱為簡化代數。三世紀的丟番圖的傑出貢獻之一，就是把希臘代數學簡化，開創了簡化代數。然而此後文字敘述代數，在除了印度以外的世界其它地方，還十分普通地存在了好幾百年，尤其在西歐一直到15世紀。第三個階段為16世紀以後，對問題的解多半表現為由符號組成的數學速記，這些符號與所表現的內容沒有什麼明顯的聯繫，稱為符號代數。16世紀韋達的名著《分析方法入門》，對符號代數的發展有不少貢獻。16世紀末，維葉特開創符號代數，經笛卡爾改進後成為現代的形式。

“＋”、“－”號第一次在數學書中出現，是1489年魏德曼的著作。不過正式為大家所公認，作為加、減法運算的符號，那是從1514年由荷伊克開始的。1540年，雷科德開始使用現在使用“＝”。到1591年，韋達在著作中大量使用後，才逐漸為人們所接受。1600年哈里奧特創用大於號“＞”和小於號“＜”。1631年，奧屈特給出“×”、“÷”作為乘除運算符。1637年，笛卡爾第一次使用了根號，並引進用字母表中頭前的字母表示已知數、後面的字母表示未知數的習慣做法。至於“≮”、“≯”、“≠”這三個符號的出現，那是近代的事了。

數的概念的拓廣，在歷史上並不全是由解代數方程所引起的，但習慣上仍把它放在初等代數裡，以求與這門課程的安排相一致。公元前4世紀，古希臘人發現無理數。公元前2世紀(西漢時期)，我國開始應用負數。1545年，意大利的卡爾達諾開始使用虛數。1614年，英國的耐普爾發明對數。17世紀末，一般的實數指數概念才逐步形成。

3、高等代數

在高等代數中，一次方程組（即線性方程組）發展成為線性代數理論；而—、二次方程發展成為多項式理論。前者是向量空間、線性變換、型論、不變量論和張量代數等內容的一門近世代數分支學科，而後者是研究只含有一個未知量的任意次方程的一門近世代數分支學科。作為大學課程的高等代數，只研究它們的基礎。

1683年關孝和(日本人)最早引入行列式概念。關於行列式理論最系統的論述，則是雅可比1841年的《論行列式的形成與性質》一書。在邏輯上，矩陣的概念先於行列式的概念；而在歷史上，次序正相反。凱雷在1855年引入了矩陣的概念，在1858年發表了關於這個課題的第一篇重要文章《矩陣論的研究報告》。