矩陣的秩是什麼?

General 更新 2024-12-31

什麼叫矩陣的秩

將矩陣做初等行變換後，非零行的個數叫行秩

將其進行初等列變換後，非零列的個數叫列秩

矩陣的秩是方陣經過初等行變換或者列變換後的行秩或列秩

什麼是矩陣的秩

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6.7 矩陣的秩齊次線性方程組的解空間

教學目的:

1. 掌握矩陣的秩和它的行空間,叮空間維數之間的關係.

2. 準確地確定齊次線性方程組解空間維數.

3. 熟練地求出齊次線性方程組基礎解系及非齊次線性方程式組的任意解.

教學內容:

1. 陣的秩的幾何意義.

設給了數域F上一個m*n矩陣

矩陣A的每一行可以看成F的一個向量,叫做A的行向量.A的每一列可以看成F的一個向量,叫做A的列向量,令a,...,a是A的列向量,這裡

a=(a,a,...,a),I=1,...,m.

由a,a,...,a所生成的F的子空間￡(a,a,..., a)叫做矩陣A的行空間.類似的,由A的n個列向量所生成的F的子空間叫做A的列空間.

當m≠n時,矩陣A的行空間和列空間是不同的向量空間的子空間,

引理6.7.1 設A是一個n*m矩陣

如果B=PA,P是一個N階可逆矩陣,那麼B與A有相同的行空間.

如果C=AQ,Q是一個n階可逆矩陣,那麼C與A有相同的列空間.

證:我們只證明(I),因為(ii)的證明完全類似.

A=(a)mn, P=(p)mm,B=(b)mn.

令{a1,a2…am}是A的行向量,{b1,b2,…,bm}是B的行向量.B的第I行等於P的第I行等於P的第P的第I行右乘以矩陣A:

bi=(bi1,bi2…,bin)=(pi1,pi2,…pim)A=pi1a1+pi2a2,…+pimam,

所以B的每一個行向量都是A的行向量的線性組合,但P可逆,所以A=P-1B.因此A的每一個行向量都是B的行向量的線性組合,這樣,向時組{a1,a2,…,am}與{b1,b2,…,bm}等價,所以它們生成Fn的同一子空間.

我們知道,對於任意一個m*n矩陣A,總存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q,使

(1) PAQ=

這裡r等於A的秩,兩邊各乘以Q得

PA=Q

右端乘積中後m-r行的元素都是零,而前r 行就是Q-1的前r行.由於Q-1可逆,所以它的行向量線性無關因而它的前r行也線性無關.於是PA的行空間的維數等於r.由引理6.7.1,A的行間的維數等於r ,另一方面,將等式(1)左乘以P-1得

AQ= P

由此看出,AQ的列空間的維數等於r,從而A的列空間的維數也等於r,這樣就證明了

定理6.7.2 一個矩陣的行空間的維數等於列空間的維數,等於這個矩陣的秩.

由於這一事實,我們也把一個矩陣的秩定義為它的行向量組的極大無關組所含向量的個數;也定義為它的列向量組極大無關組所含向裡的個數.

數域F上線性方程組有解的充要條件是它的係數矩陣與增廣矩陣有相同的秩.

線性方程組的解的結構:設

a11x1+a12x2+…a1nxn=0

a21x1+a22x2+…a2nxn=0

(3)

......

矩陣的秩和其伴隨矩陣的秩有什麼關係？

設A是n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，兩者的秩的關係如下：

r(A*) = n, 若r(A)=n

r(A*)=1, 若r(A)=n-1；

r(A*)=0，若r(A)

證明如下所示：

若秩r(A)=n，說明行列式|A|≠0，說明|A*|≠0，所以這時候r(A*)=n；

若秩r(A)

若秩r(A)=n-1，說明，行列式|A|=0，但是矩陣A中存在n-1階子式不為0，對此有：

AA*=|A|E=0

從而r(A)+r(A*)小於或等於n，也就是r(A*)小於或等於1，又因為A中存在n-1階子式不為0，所以Aij≠0，得r(A*)大於或等於1，所以最後等於1.

矩陣的維數和矩陣的秩有什麼區別

矩陣的維數就是矩陣的秩，但是一般在線性空間中才多提到維數。

矩陣的秩是什麼麻煩講得通俗易懂 10分

就他媽是方程的個數，你平常解方程怎麼解的，是不是就把兩個方程相互加減啊，有的時候你把方程相加減最後你會發現有一對甚至更多的方程是一樣的，這些一樣的方程就等價於一個方程，然後加上其他的那些亂七八糟的方程，就是秩

向量的秩是什麼

單一的向量沒有秩