極限理論的研究意義?

General 更新 2024-12-22

極限理論的歷史背景

微積分一誕生，就在力學、天文學中大現身手，能夠輕而易舉地解決許多本來認為束手無策的難題。後來，微積分又在更多的領域取得了豐碩的成果。人們公認微積分是17、18世紀數學所達到的最高成就，然而它的創始人牛頓和萊布尼茨對之所作的論證卻並不清楚、很不嚴謹。無論是牛頓的瞬和流數，還是萊布尼茨的dx和，都涉及到無窮小量，而在他們各自的論述中都沒有給出確定的、一貫的定義。在微積分的推導和運算過程中，常常是先用無窮小量作為分母進行除法，然後又把無窮小量當作零，以消除那些包含有它的項。那麼無窮小量究竟是零還是非零呢？如果它是零，怎麼能用它去作除數呢？如果它不是零，又怎麼能把包含它的那些項消除掉呢？這種邏輯上的矛盾，牛頓和萊布尼茨都意識到了。牛頓曾用有限差值的最初比和最終比來說明流數的意義，但是當差值還未達到零時，其比值不是最終的，而當差值達到零時，它們的比就成為，怎樣理解這樣的最終比呢？實在令人困惑。牛頓承認他對自己的方法只作出簡略的說明，而不是正確的論證。萊布尼茨曾把無窮小量形容為一種理想的量，但正如一些數學家所說：與其說是一種說明，還不如說是一個謎。奇怪的是，微積分自身存在著明顯的邏輯混亂，然而在實際應用中則是卓有成效的得力工具。這樣，微積分就具有了神祕性。起初，神祕性集中表現在對於無窮小量這個概念的理解上，並因而受到了各種人的攻擊。數學家們不能容忍這一新方法的理論本身是如此的含糊不清乃至荒謬絕倫。法國數學家洛爾稱微積分為巧妙的謬論的彙集；著名思想家伏爾泰說微積分是精確的計算和度量某種無從想象其存在的東西的藝術。在一片疑難和責問聲中，以英國主教兼哲學家貝克萊的譴責最為強烈，他譏諷無窮小量是逝去的量的鬼魂，說微積分包含大量的空虛、黑暗和混亂，是分明的詭辯。馬克思曾對微積分作過一番歷史考察，他把這一時期稱為神祕的微積分時期，並有這樣的評論：於是，人們自己相信了新發現的算法的神祕性。這種算法肯定是通過不正確的數學途徑得出了正確的（而且在幾何應用上是驚人的）結果。人們就這樣把自己神祕化了，對這新發現的評價更高了，使一群舊式正統派數學家更加惱怒，並且激起了敵對的叫囂，這種叫囂甚至在數學界以外產生了反響，而為新事物開拓道路，這是必然的。微積分的邏輯缺陷和人們的猛烈攻擊，激厲數學家們為消除微積分的神祕性，亦即為微積分建立合理的理論基礎而努力。18世紀，在這方面作出貢獻的主要代表人物是達朗貝爾、歐拉和拉格朗日。可是無窮小量的本質尚未弄明白，無窮級數的和的問題又日漸突出了。在微積分裡，一個典型的基本算法就是把無窮多項相加，叫做求無窮級數之和。在初等數學中，有限多項相加總有確定的和。而無窮多項相加，是加不完的，什麼是無窮級數的和是不清楚的。在很長一段時間裡，人們習慣地把有限多項相加的運算規則照搬到無窮級數中，雖然也解決過許多問題，但有時竟出現了像1/2=0這樣的荒謬結果。進入19世紀以後，隨著微積分應用的更加廣泛和深入，遇到的數量關係也更加複雜，很多問題，例如，對於熱傳導現象的研究，就已超出了早年力學那樣的直觀性。在這種情況下，要求有明確的概念、合乎邏輯的推理和運算法則，就顯得更加重要和迫切了。事實上，微積分作為變量數學，是運用無窮來描畫和研究運動和變化過程，獲得了成功的，卻長期沒有對有關無窮的概念給出正確的闡述，甚至導致邏輯上的混亂，微積分的神祕性正是由此而來，而這也正是微積分的理論基礎所要解決的問題。數學家們經過一百多年的艱苦探索歷程，終於在前人所積累的大量成果（包括許多失敗的嘗試）的基礎上，建立起微積分的理論基礎。柯西(1789―1857）於1821年出版的《分析教......

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簡述經濟增長極限論的主要內容及現實意義

答：經濟增長極限理論又稱“零經濟增長論”。產生於60年代末70年代初，70年代美國學者梅多斯等人出版了《增長的極限》一書，建立一個“世界模型”，研究以下五個方面的經濟發展的重要趨勢以及它們之間的相互關係：(1)加速的工業化；(2)快速的人口增長；(3)廣泛的營養不良；(4)有限資源的耗竭；(5)日益惡化的環境。他們認為為避免世界經濟的崩潰，就要採取措施，建立一個持續的生態平衡環境，控制經濟發展，實行“零經濟增長”。

極限思想在數學分析中的重要性有哪些

極限的思想是近代數學的一種重要思想，數學分析就是以極限概念為基礎、極限理論(包括級數)為主要工具來研究函數的一門學科。　　所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。用極限思想解決問題的一般步驟可概括為：　　對於被考察的未知量，先設法構思一個與它有關的變量，確認這變量通過無限過程的結果就是所求的未知量；最後用極限計算來得到這結果。　　極限思想是微積分的基本思想，數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：“數學分析是一門什麼學科?”那麼可以概括地說：“數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科”。1）運算法則 2）線性運算3）非線性運算

猜謎:撐杆跳高。打一字。

幹，因為“木”給扔了

什麼是中心極限定理，中心極限定理在統計方法的應用中有什麼意義

中心極限定理是研究獨立隨機變量和的極限分佈為正態分佈的問題。它是概率論中最重要的一類定理，有廣泛的實際應用背景。

中心極限定理(central limit theorem)是概率論中討論隨機變量序列部分和分佈漸近於正態分佈的一類定理。這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變量積累分佈函數逐點收斂到正態分佈的積累分佈函數的條件。

意義：中心極限定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變量之和近似服從正態分佈的條件。

設隨機變量X1，X2，......Xn，......相互獨立，服從同一分佈，且具有數學期望和方差:E(Xk)=μ，D(Xk)=σ^2>0(k=1,2....),則隨機變量之和的標準化變量的分佈函數Fn(x)對於任意x滿足limFn(x)=Φ(x)，n→∞ 其中Φ(x)是標準正態分佈的分佈函數。

例如：水房擁擠問題：假設西安郵電學院新校區有學生5000人，只有一個開水房，由於每天傍晚打開水的人較多，經常出現同學排長隊的現象，為此校學生會特向後勤集團提議增設水龍頭。假設後勤集團經過調查，發現每個學生在傍晚一般有1％的時間要佔用一個水龍頭，現有水龍頭45個，現在總務處遇到的問題是：

（1）未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？

（2）至少要裝多少個水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？

解：（1）設同一時刻，5000個學生中佔用水龍頭的人數為X，則

X～B（5000，0.01）

中心極限定理以嚴格的數學形式闡明瞭在大樣本條件下，不論總體的分佈如何，樣本的均值總是近似地服從正態分佈。如果一個隨機變量能夠分解為獨立同分布的隨機變量序列之和，則可以直接利用中心極限定理進行解決。總之，恰當地使用中心極限定理解決實際問題有著極其重要意義。

極限的定義的理解？