同餘是什麼意思?

同餘的性質

同餘這個概念最初是由德國偉大的數學家高斯發現的，有這樣的幾個定理：對於兩個整數A和B，如果他們除以同一個自然數M的餘數相同，就說A、B對於模M同餘。比如說：12除以5，47除以5，他們有相同的餘數2，這時我們就說對於除數5，12和47同餘。記作12≡47（mod5)

同餘的性質主要有：（1）對於同一個除數，兩數的和（或差）於他們餘數的和（或差）同餘數。（2）對於同一個除數，兩數的乘積與他們餘數的乘積同餘。（3）對於同一個除數，如果兩個整數同餘，那麼他們的差就一定能被這個數整除。（4）對於同一個除數，如果兩個整數同餘，那麼他們的乘方仍然同餘。解答同餘類型題目的關鍵是靈活運用性質，把求一個比較大的數字除以某數的餘數問題轉化為求一個較小數除以這個數的餘數，使複雜的問題變得簡單化。

例1：求1992×59除以7的餘數。

根據性質2，不用計算兩個數的乘積，可以轉化位分別求出1992÷7和59÷7的餘數的積，使計算簡單化。第一個餘數是4，第二個餘數是3.餘數的乘積是12，除以7後的餘數是5，所以1992×59除以7的餘數是5.簡單記做因為1992×59≡4×3≡5（mod7）,所以餘數是5.

例2：求2001的2003次方除以13的餘數。

根據性質4來解決。2001除以13的餘數等於12，12除以13的餘數也是12，可以說2001的2003次方與12的2003次方對於除數13同餘。但是12的2003次方仍然是一個很大的數字，求餘數仍然比較困難。這時的關鍵找出12的幾次方對於13與1同餘，經過試驗知道12的平方≡1（mod13),而2003＝2的1001次方+1，所以12平方的1001次方≡1的1001（mod13).根據同餘的性質12的2002次方×12≡1×12＝12（mod13),所以餘數等於12。

例3：自然數16520、14903、14177除以m得到相同的餘數，m最大的數值等於多少？

三個數字比較大，但是他們對於m同餘，那麼當中任意兩個數字的差必然是m倍數，要求m的最大的數值可以轉化位求他們的三個差的最大公約數，從而降低計算的難度。16520-14903=1617=3×7的平方×11，16520-14177=2343=3×11×71，14903-14177=726=2×3×11的平方，三個差的最大公約數是3×11=33,m的最大數字等於33.

練習：

1)879×4376×5283除以19的餘數。

2）已知2001年的國慶節是星期一，求2008年的國慶節是星期幾？

3）求16的200次方除以21的餘數？

4)一個整數除226、192、141都得到相同的餘數，並且餘數不等於0，這個整數最大是多少？

參考資料：yxyzyxz.blog.163.com/...56315/

同餘問題mod是什麼意思。。。。。急需！！！！！

比如說15與8mod7同餘,就是兩數除以同一數,餘數相同。

兩個數和的餘數與餘數的和同餘是什麼意思

餘數和同餘 有餘數的除法各部分之間的關係：被除數=除數×商＋餘數被除數－餘數﹦商×除法

什麼是同餘問題

又稱“同模”，即除以某數的餘數相同。例如，4和7對數3的餘數都是1，則稱數4和7對數3同餘。又如，所有耿數對數2同餘，所有的偶數對數2同餘。

什麼是同餘的階

a和模m互質，使a^d≡1(modm)成立的最小正整數d稱為a對模m的階(指數),例如

1^1≡1(modn),1對模n的階為1

2^2≡1(mod3),2對模3的階為2；

5^6≡1(mod7),5對模7的階為6；

2^3≡1(mod7),2對模7的階為3.

等等。

32≡2（mOd5）和12≡47（mOd5）分別是什麼意思，關於兩個同餘的數不是一定要比除數大嗎

不需要大小

32≡2(mod5)的意思是32除以5的餘數 = 2除以5的餘數

12≡47(mod5)的意思是12除以5的餘數 = 47除以5的餘數

同餘常用在數論證明中，寫到最後一般都是最簡的≡0~a-1(moda)

你也可以寫-3≡2(mod5)，商可以是0，也可以為負