矩陣範數怎麼求?

General 更新 2024-12-26

如何求矩陣的一範數一範數和二範數有啥區別？

1-範數：是指向量（矩陣）裡面非零元素的個數。類似於求棋盤上兩個點間的沿方格邊緣的距離。

||x||1 = sum（abs(xi)）；

2-範數（或Euclid範數）：是指空間上兩個向量矩陣的直線耿離。類似於求棋盤上兩點見的直線距離（無需只沿方格邊緣）。

||x||2 = sqrt(sum(xi.^2))；

∞－範數(或最大值範數)：顧名思義，求出向量矩陣中其中模最大的向量。

||x||∞ = max(abs(xi))；

PS.由於不能敲公式，所以就以偽代碼的形式表明三種範數的算法，另外加以文字說明，希望樓主滿意。相互學習，共同進步~

請問各位達人，矩陣2範數怎麼求啊？它的公式是什麼咧？

矩陣A的2範數就是搐A乘以A的轉置矩陣特徵根最大值的開根號

如A={ 1 -2

-3 4 }

那麼A的2範數就是（15+221^1/2)^1/2 了

求教矩陣向量的列向量的範數用那個函數

函數norm格式n=norm(X)%X為向量，求歐幾里德範數，即。n=norm(X,inf)%求-範數，即。n=norm(X,1)%求1-範數，即。n=norm(X,-inf)%求向量X的元素的絕對值的最小值，即。n=norm(X,p)%求p-範數，即，所以norm(X,2)=norm(X)。命令矩陣的範數函數norm格式n=norm(A)%A為矩陣，求歐幾里德範數，等於A的最大奇異值。n=norm(A,1)%求A的列範數，等於A的列向量的1-範數的最大值。n=norm(A,2)%求A的歐幾里德範數，和norm(A)相同。n=norm(A,inf)%求行範數，等於A的行向量的1-範數的最大值即：max(sum(abs(A')))。n=norm(A,'fro')%求矩陣A的Frobenius範數，矩陣元p階範數估計需要自己編程求，計算公式如下舉個例子吧a=magic(3)sum(sum(abs(a)^4))^(1/4)a=816357492ans=19.7411希望能幫上

什麼是矩陣的範數

在介紹主題之前，先來談一個非常重要的數學思維方法：幾何方法

。在大學之前，我們學習過一次函數、二次函數、三角函數、指數函數、對數函數等，方程則是求函數的零點；到了大學，我們學微積分、複變函數、實變函數、泛函等。我們一直都在學習和研究各種函數及其性質，

函數是數學一條重要線索，另一條重要線索——幾何

，在函數的研究中發揮著不可替代的作用，幾何是函數形象表達，函數是幾何抽象描述，幾何研究“形”，函數研究“數”，它們交織在一起推動數學向更深更抽象的方向發展。

函數圖象聯繫了函數和幾何，表達兩個數之間的變化關係，

映射推廣了函數的概念，使得自變量不再僅僅侷限於一個數，也不再侷限於一維，任何事物都可以拿來作映射，維數可以是任意維，傳統的函數圖象已無法直觀地表達高維對象之間的映射關係，這就要求我們在觀念中，把三維的幾何空間推廣到抽象的n維空間。

由於映射的對象可以是任何事物

，為了便於研究映射的性質以及數學表達，我們首先需要對映射的對象進行“量化”，取定一組“基”，確定事物在這組基下的座標，事物同構於我們所熟悉的抽象幾何空間中的點，事物的映射可以理解為從一個空間中的點到另一個空間的點的映射，而映射本身也是事物，自然也可以抽象為映射空間中的一個點，這就是泛函中需要研究的對象——函數。

從一個線性空間到另一個線性空間的線性映射梗可以用一個矩陣來表達，矩陣被看線性作映射，線性映射的性質可以通過研究矩陣的性質來獲得，比如矩陣的秩反映了線性映射值域空間的維數，

矩陣範數反映了線性映射把一個向量映射為另一個向量，向量的“長度”縮放的比例。

範數是把一個事物映射到非負實數，且滿足非負性、齊次性、三角不等式，符合以上定義的都可以稱之為範數，所以，範數的具體形式有很多種（由內積定義可以導出範數，範數還也可以有其他定義，或其他方式導出），要理解矩陣的算子範數，首先要理解向量範數的內涵。矩陣的算子範數，是由向量範數導出的，由形式可以知：

由矩陣算子範數的定義形式可知，矩陣A把向量x映射成向量Ax

，取其在向量x範數為1所構成的閉集下的向量Ax範數最大值作為矩陣A的範數，即矩陣對向量縮放的比例的上界，矩陣的算子範數是相容的。由幾何意義可知，矩陣的算子範數必然大於等於矩陣譜半徑（最大特徵值的絕對值），矩陣算子範數對應一個取到向量Ax範數最大時的向量x方向，譜半徑對應最大特徵值下的特徵向量的方向。而矩陣的奇異值分解SVD

，分解成左右各一個酉陣，和擬對角矩陣，可以理解為對向量先作旋轉、再縮放、最後再旋轉，奇異值，就是縮放的比例，最大奇異值就是譜半徑的推廣，所以，矩陣算子範數大於等於矩陣的最大奇異值，酉陣在此算子範數的意義下，範數大於等於1

。此外，不同的矩陣範數是等價的。

範數理論是矩陣分析的基礎，度量向量之間的距離、求極限等都會用到範數，範數還在機器學習、模式識別領域有著廣泛的應用。

範數的矩陣範數

一般來講矩陣範數除了正定性，齊次性和三角不等式之外，還規定其必須滿足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩陣範數通常也稱為相容範數。如果║·║α是相容範數，且任何滿足║·║β≤║·║α的範數║·║β都不是相容範數，那麼║·║α稱為極小範數。對於n階實方陣（或複方陣）全體上的任何一個範數║·║，總存在唯一的實數k>0，使得k║·║是極小範數。注：如果不考慮相容性，那麼矩陣範數和向量範數就沒有區別，因為mxn矩陣全體和mn維向量空間同構。引入相容性主要是為了保持矩陣作為線性算子的特徵，這一點和算子範數的相容性一致，並且可以得到Mincowski定理以外的信息。誘導的範數把矩陣看作線性算子，那麼可以由向量範數誘導出矩陣範數║A║ = max{║Ax║：║x║=1}= max{║Ax║/║x║： x≠0} ，它自動滿足對向量範數的相容性║Ax║ ≤ ║A║║x║，並且可以由此證明：║AB║ ≤ ║A║║B║。注：⒈上述定義中可以用max代替sup是因為有限維空間的單位閉球是緊的（有限開覆蓋定理），從而上面的連續函數可以取到最值。⒉顯然，單位矩陣的算子範數為1。常用的三種p-範數誘導出的矩陣範數是1-範數：║A║1 = max{ ∑|ai1|，∑|ai2|，……，∑|ain| } （列和範數，A每一列元素絕對值之和的最大值）（其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|，其餘類似）；2-範數：║A║2 = A的最大奇異值 = (max{ λi(AH*A) }) 1/2 （譜範數，即A^H*A特徵值λi中最大者λ1的平方根，其中AH為A的轉置共軛矩陣）；∞-範數：║A║∞ = max{ ∑|a1j|，∑|a2j|,...，∑|amj| } （行和範數，A每一行元素絕對值之和的最大值）（其中∑|a1j| 為第一行元素絕對值的和，其餘類似）；其它的p-範數則沒有很簡單的表達式。對於p-範數而言，可以證明║A║p=║AH║q，其中p和q是共軛指標。簡單的情形可以直接驗證：║A║1=║AH║∞，║A║2=║AH║2，一般情形則需要利用║A║p=max{yH*A*x：║x║p=║y║q=1}。非誘導範數有些矩陣範數不可以由向量範數來誘導，比如常用的Frobenius範數（也叫Euclid範數，簡稱F-範數或者E-範數）：║A║F= （∑∑ aij2）1/2 (A全部元素平方和的平方根）。容易驗證F-範數是相容的，但當min{m,n}>1時F-範數不能由向量範數誘導（||E11+E22||F=2>1）。可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數。例如定義║x║=║X║，其中X=[x,x，…，x]是由x作為列的矩陣。由於向量的F-範數就是2-範數，所以F-範數和向量的2-範數相容。另外還有以下結論：║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及 ║AB║F ≤ ║A║2 ║B║F矩陣譜半徑定義：A是n階方陣，λi是其特徵值，i=1,2，…，n。則稱特徵值的絕對值的最大值為A的譜半徑，記為ρ（A）。注意要將譜半徑與譜範數（2-範數）區別開來，譜範數是指A的最大奇異值，即AH*A最大特徵值的算術平方根。譜半徑是矩陣的函數，但不是矩陣範數。譜半徑和範數的關係是以下幾個結論：定理1：譜半徑不大於矩陣範數，即ρ（A）≤║A║。因為任一特徵對λ，x,Ax=λx，可得Ax=λx。兩邊取範數並利用相容性即得結果。定理2：對於任何方陣A以及任意正數e，存在一種矩陣範數使得║A║......

矩陣計算範數

根據矩陣F（簡稱）範數的定義：

以及矩陣的跡與F範數的關係（方框中的內容）：

得到

（因為都是實矩陣、實向量，所以共軛轉置就等同於轉置了）

因此只要證明：

在這裡依然沒有看到可以簡化的跡象，所以就不打算寫成跡的形式來證明了。下面直接利用F範數的定義來證明。

設E的第i行、第j列元素為Eij，s的第i個元素為si，數值(s^T)*s=C，那麼

並且有

因此只要證明

從而只要證明

即要證明

即證