拓撲空間的元素是什麼?

拓撲空間的定義

設 是一個集合， 是一些 的子集構成的族，則( ， )被稱為一個拓撲空間，如果下面的性質成立：1. 空集和屬於 ，2. 中任意多個元素的並仍屬於 ，3. 中有限個元素的交仍屬於 。這時， 中的元素成為點（point）， 中的元素成為開集（open set）。我們也稱 是 上的一個拓撲。

拓撲空間 線性空間 有哪些區別

拓撲空間和線性空間的區別：拓撲空間是一個點的集合；線性空間是向量的集合。

拓撲空間的定義僅依賴於集合論，是帶有連續，連通，收斂等概念的最基本的數學空間。其定義為：

設X是一個集合，O是一些X的子集構成的族，則(X，O)被稱為一個拓撲空間，如果下面的性質成立：

1. 空集和X屬於O，

2.O中任意多個元素的並仍屬於O，

3.O中有限個元素的交仍屬於O。

這時，X中的元素成為點（point），O中的元素成為開集（open set），則稱O是X上的一個拓撲。

線性空間又稱向量空間，是線性代數的中心內容和基本概念之一。在解析幾何裡引入向量概念後，使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰，在此基礎上的進一步抽象化，形成了與域相聯繫的向量空間概念。單變元實函數的集合在定義適當的運算後，也構成向量空間。

“拓撲”是什麼意思？

拓撲(topology)原意地誌學，1847年首次由Gauss的學生Listing引進。數學家稱拓撲學為位置分析(analysis situs)，拓撲學是近代發展起來的高度抽象的一門幾何學。根據德國數學家Erlangen綱領的思想，各種幾何學可按照變換群進行分類，即幾何學是研究空間在某種變換下的不變性質。例如，歐氏幾何是研究剛體運動下的不變性質。仿射幾何是研究仿射變換下的不變性質。

拓撲學是研究空間在拓撲變換(同胚)下的不變性質。同胚的空間X和Y是指X和Y之間存在雙向連續(互逆且連續)的對應撫形象比喻就是橡皮X在不允許隔斷的情況下可以捏成Y。俗稱橡皮幾何學。

包括：Euler-Poincare示性數，五色地圖著色問題，Jordan曲線定理，Riemann關於閉曲面間的拓撲分類。

其成為學科應歸功於Poincare，他在研究代數簇的基礎上，通過將空間剖分成若干個單形的組合，得出空間的Betti數、撓係數的計算方法(同調群)，還得出Euler定理的一般形式和基本群，流形對偶定理等。在1894~1912年這些成果，標誌著拓撲學的創立。

1910-1920，Hausdorff,Alexander為代表產生點集拓撲這一分支。1930年引入群的思想，組合拓撲變成現在的代數拓撲，1940年以Whitney對微分流形的研究為代表，發展了微分拓撲。現在拓撲學已經成為近代純粹數學的重要支柱，它的方法和結果已滲透到分析、代數、幾何、計算，甚至於物理學等各領域。

度量空間與拓撲空間的關係

拓撲空間是度量空間的進一步抽象和推廣,具有可數稠密子集的拓撲空間稱為可分的空間。而度量空間是一種特殊的拓撲空間.不是任何拓撲空間都是可以賦予度量的，要加一定的條件。

度量空間(Metric Space)，在數學中是指一個集合，並且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的。

在拓撲學及其相關的數學分支中，拓弗空間（topological space）是一個點的集合，其部分子集構成一個族滿足一些公理。拓撲空間的定義僅依賴於集合論，是帶有連續，連通，收斂等概念的最基本的數學空間。

為什麼拓撲空間拓撲本身就是拓撲空間一個子基

大哥，你看下拓撲空間的基的定義撒！

基： 一個子集族，拓撲空間的每一個開集都可以這個子集族中的某些元素的並所組成，滿足這樣的條件的子集族就是基！

拓撲空間的本身作為一個子集族當然滿足上述的條件呀！

為什麼說拓撲空間的每一個元素都是開集，或者為什麼平庸空間中X與空集本身是開集？大家幫幫忙啊，搞不懂啊

一般空間中元素不一定是開集，全集與空集是開集這是開集公理的定義，僅僅是定義而已

拓撲空間上的連續和歐式度量空間的連續是不是本質是一樣的？求詳細解釋。 100分

拓撲空間是度量空間的進一步抽象和推廣,具有可數稠密子集的拓撲空間稱為可分的空間。而度量空間是一種特殊的拓撲空間.不是任何拓撲空間都是可以賦予度量的，要加一定的條件。

度量空間是指一個集合，並且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的。

在拓撲學及其相關的數學分支中，拓撲空間是一個點的集合，其部分子集構成一個族滿足一些公理。拓撲空間的定義僅依賴於集合論，是帶有連續，連通，收斂等概念的最基本的數學空間。