在△ABC中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),用三種方法求∠A的平分線的方程。
工具/原料
知識點一：角平分線定理及兩點距離公式
知識點二：到角知識應用
知識點三：向量知識的應用
方法/步驟1：角平分線定理及兩點距離公式
[解題思路]：因為是角平分線，利用角平線定理即兩點間距離公式來求點D，進而求其方程。
根據兩點間距離公式得到：
AC=√[(4+4)^2+(1-7)^2]=10;
AB=√[(7-4)^2+(5-1)^2]=5;
BC=√[(-4-7)^2+(7-5)^2]=5√5.
設CD=x,則BD=5√5-x。
根據角平分線定理得到：
BD/DC=AB/AC
所以：
(5√5-x)/x=5/10,得到：x=10√5/3,則CD=10√5/3,BD=5√5/3.
設D（m,n）,因為D在直線BC上，則有：
(n-5)/(m-7)=(5-7)/[7-(-4)]，即:
11n+2m-69=0
2m=69-11n……(1)
CD^2=x^2=500/9=(m+4)^2+(n-7)^2…..(2)
BD^2=125/9=(m-7)^2+(n-5)^2…..(3)
(3)-(2)得到：
375/9=8m+14m-14n+10n+16+49-49-25
化簡：22m-4n-9=375/9
將(1)代入上式得到：
11（69-n）-4n-9=375/9
750-125n=375/9
125(6-n)=125*3/9
所以n=17/3,進一步得到m=10/3. 即D（10/3,17/3）.
則AD的斜率k=(17/3-1)/(10/3-4)=-7.
所以角平分線的方程為：
y-1=-7(x-4)
即：7x+y-29=0.
方法/步驟2：到角知識應用
[解題思路]:利用到角公式求出所求直線的斜率，直線經過A點，用點斜式即可得到直線方程。
直線AC的斜率k1=（7-1）/(-4-4)=-3/4
直線AB的斜率k2=(5-1)/(7-4)=4/3.
設∠CAD=∠DAB=∠a，角平分線的斜率=k，由到角公式得到：
(k-k2)/(1+k2·k）=（k1-k)/(1+k1·k）
代入數值得到：
(k-4/3)/(1+4k/3)=(-3/4-k)/(1-3k/4)
化簡得到：
（3k-4）^2=(4k+3)^2
得到：k=-7或者k=-1/7,
因為k
點斜式得到角平分線方程為：
y-1=(-7)(x-4)
即：7x+y-29=0.
方法/步驟3：向量知識的應用
[解題思路]：利用向量點乘的有關知識進行求解。
設D（m,n）,因為D在直線BC上，則有：
(n-5)/(m-7)=(5-7)/[7-(-4)]，即:
11n+2m-69=0
2m=69-11n……(1)
向量AC=(-8，6),向量AD=(m-4,n-1)，則：
向量AC·向量AD=-8(m-4)+6(n-1)
= AC * AD *cos∠CAD………(2)
向量AB=(3，4),向量AD=(m-4,n-1)，則：
向量AB·向量AD=3(m-4)+4(n-1)
= AB * AD *cos∠DAB………(3)
(2)/(3)得到：
[-8(m-4)+6(n-1)]/[ 3(m-4)+4(n-1)]= AC / AB =2
所以：
n+7m=29………(4)
由(1)、（4）解方程得到：
m=10/3,進而得到n=17/3，即D（10/3,17/3）.
則AD的斜率k=(17/3-1)/(10/3-4)=-7.
所以角平分線的方程為：
y-1=-7(x-4)
即：7x+y-29=0.
注意事項
在直線的斜率問題中，在豎直方向的左側，與豎直方向的夾角越小，其斜率也越小。
對於本題，角平分線的斜率小於直線AC的斜率。