一天，著名魔術大師秋先生拿了一塊長和寬都是1.3米的地毯去找地毯匠敬師傅，要求把這塊正方形地毯改成0.8米寬2.1米長的矩形．敬師傅對秋先生說：“你這位大名鼎鼎的魔術師，難道連小學算術都沒有學過嗎？邊長1.3米的正方形面積為1.69平方米，而寬0.8米長2.1米的矩形面積只有1.68平方米，兩者並不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然沒法做．”秋先生拿出他事先畫好的兩張設計圖，對敬師傅說：“你先照這張圖（圖1.2）的尺寸把地毯裁成四塊，然後照另一張圖（圖1.3）的樣子把這四塊拼在一起縫好就行了．魔術大師是從來不會錯的，你放心做吧！”敬師傅照著做了，縫好一量，果真是寬0.8米長2.1米．魔術師拿著改好的地毯滿意地走了，而敬師傅卻還在納悶兒：這是怎麼回事呢？那0.01平方米的地毯到什麼地方去了？你能幫敬師傅解開這個謎嗎？
過了幾個月，魔術師秋先生又拿來一塊地毯，長和寬都是1.2米，只是上面燒了一個燒餅大小（約0.01平方米）的窟窿．秋先生要求敬師傅將地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但長和寬仍舊是1.2米．敬師傅很為難，覺得這位魔術大師的要求不合理，根本無法做到．秋先生又拿出了自己的設計圖紙，要敬師傅按圖1.4的尺寸將地毯剪開，再按圖1.5的樣子拼在一起縫好．敬師傅照著做了，結果真的得到了一塊長和寬仍是1.2米的地毯，而原來的窟窿卻消失了．魔術師拿著補好的地毯得意洋洋地走了，而敬師傅還在想，補那窟窿的0.01平方米的地毯是哪裡來的呢？你能幫敬師傅解開這個謎嗎
你準備如何著手去揭開魔術大祕密呢？通常的辦法是根據他給的尺寸按某個比例（例如10：1）縮小，自己動手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，實際量一量，看看祕密藏在什麼地方．這種做模型（或做實驗）的方法，是科技工作者和工程技術人員通常採用的方法．這種方法要求操作和測量都非常精確，否則你就發現不了祕密．例如，按縮小後的尺寸，剪拼前後面積差應為1平方釐米，如果在你操作和測量過程中所產生的誤差就已經大於1平方釐米了，那麼你怎能發現那1平方釐米的面積差出在什麼地方呢？
數學工作者在研究和解決問題時，通常採用另一種方法—數學計算，即通過精細的數學計算來發現剪拼前後的面積差出在何處．
現在我們先來分析第一個魔術。
比較圖1.2和圖1.3將圖1.2中的四塊圖形分別記為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（圖1.6），而將圖1.3中相應的四塊分別記為，，，（圖1.7）．現在的問題是，圖1.6中的四塊能否拼得像圖1.7那樣“嚴絲合縫”、“不重不漏”？也就是說，圖1.7中所標的各個尺寸是否全都準確無誤？例如圖1.7中的為直角三角形，如果時，點是否恰好落在矩形的對角線上？同樣，如果時，點是否恰好落在上？讓我們通過計算來回答這個問題．
如圖1.8建立直角座標系，以所在直線為軸，所在
直線為軸，單位長度表示0.1米，於是有（0，0），（0，21），（8，21），（8，0），（0，13），（5，13），（3，8），（8，8）．如何判斷和是否恰好落在直線上呢？一種辦法是，的座標代入直線的方程，看是否滿足方程；另一種辦法是分別計算，，的斜率，比較它們是否相等．下面用後一種方法進行討論．
設線段的斜率為，則有，，．比較之，由得，即的斜角大於的斜角，的斜角又大於的斜角，可見和都不在對角線上，它們分別落在的兩側（圖1.8）：又由，
得，，即，．可知將圖1.6中的四塊圖形按照圖1.7拼接時，在矩形對角線附近重疊了一個小平行四邊形（圖1.8）．正是這一微小的重疊導致面積減少，減少的正是這個重疊的的面積．記（3，8）到對角線（）的距離為，
米，
米，
．
把面積僅為0.01平方米的地毯拉成對角線長為米（約2.247米）的極細長的平行四邊形，在一個大矩形的對角線附近重疊了這麼一點點，當然很難覺察出來，魔術大是由正是利用了這一點矇混過去，然而這一障眼法卻怎麼也逃不過精細的數學計算這一“火眼金睛”．
如果我們把上述分割正方形和構成矩形所涉及的四個數，從小到大排列起來，即
5，8，13，21，
這列數有什麼規律呢？相鄰兩數之和，正好是緊跟著的第三個數．按照這個規律，5前面應該是（8－5＝）3，3前面應是（5－3＝）2，2前面應是（3－2＝）1，1前面應是（2－1＝）1，21後面應為（13＋21＝）34，34後面應為（21＋34＝）55，等等，於是得到數列
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
這個數列的特點是，它的任意相鄰三項中前兩項之和即為第三項．我們稱這個數列為斐波那契數列．魔術師的上述第一個地毯魔術中的四個數5，8，13，21只是斐波那契數列中的一段，從該數列中任意取出其他相鄰的四個數，還能玩上述魔術嗎？為了使計算簡單一些，我們取出數字更小的一段3，5，8，13來試一試．把邊長為8的正方形按圖1.9分成四塊，再拼成邊長為5和13的矩形（圖1.10）．
這時圖形的面積由圖1.9的64變成了圖1.10的65，憑空增加了1個單位面積．通過完全類似的計算，我們發現圖1.10的尺寸是不合理的，實際上在矩形對角線附近，同樣會出現一個小平行四邊形．不過這次不是一個重疊的平行四邊形，而一具平行四邊形空隙（圖1.11）．這就是拼成的矩形比原來的下方形面積“增大”的祕密所在．
我們可以使用斐波那契數列的任何相鄰四項，來玩上述分割重拼的魔術，我們發現，正方形比重拼成的矩形，時而少一個單位面積，時而又多一個單位面積．這是因為重拼時，在矩形對角線附近，有時會重疊一個細長的平行四邊形（因此失去一個單位面積），有時又會出現一個細長的平行四邊形空隙（因此多出一個單位面積）．面積何時變不，何時變大，有沒有規律呢？
我們把斐波那契數列
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
記為，，，，，…
這裡，，，，，…，且具有遞推關係
考察以為邊長的正方形面積與以及為兩邊長的矩形面積之間的關係．隨著從小到大依次取2，3，4，5，…，我們得到
當時有，即；
當時有，即；
當時有，即；
當時有，即；
從中我們發現，隨著的奇偶變化，在上述關係式中，加1和減1交替出現．對於數列的第項，當是大於1的奇數時有，此時正方形的面積比矩形小1．寫成統一的表示式就是．
將斐波那契數列前後相鄰兩項的比，作成一個新的數列
，，，，，，，…
該數列的極限是一個定數（無理數），這個數有很重要的應用，而且還有一個非常好聽的名字，叫“黃金分割比”．
相傳早在歐幾里得之前，古希臘數學家歐多克索斯（Eudoxus，約公元前400～前347）提出並解決了下列按比例分線段的問題：“將線段分為不相等的兩段，使長段為全線段和短段的比例中項．”歐幾里得把它收入《幾何原本》之中，並稱它分線段為中外比．據說“黃金分割”這個華貴的名字是中世紀著名畫家達·芬奇取的，從此就廣為留傳，直至今日．
對於長度為的線段，使的分點稱為“黃金分割點”（圖1.12）．設，則．即黃金分割比．從古希臘起直到今天，人們都認為這種比例在造型藝術上具有很高的美學價值．在所有矩形中，兩邊之比符合黃金分割比的矩形是最優美的．難怪日常生活中許多矩形用品和建築中的矩形結構，往往是按黃金分割比設計的．甚至連人體自身的形體美，即最優美的身段，也遵循著黃金分割比．據說“維納斯”雕像以及世界著名藝術珍品中的女神像，她們身體的腰以下部分的長度與整個身高的比，都近於0.618，於是人們就把這個比作為形體美的標準．芭蕾舞女演員腰以下部分的身長與身高之比，一般約在0.58左右，因此在她們翩翩起舞時，總是腳尖點地，使腰以下部分的長度增長8～10釐米，以圖展示符合0.618身段比例的優美體形（圖1.13），給觀眾以美的藝術享受．
黃金分割比不僅在藝術上，而且在工程技術上也有重要意義．工廠裡廣泛使用的“優選法”，就是黃金分割比的一種應用，因此有人乾脆把優選法稱為“0.618法”．
在實際應用時，黃金分割比可用斐波那契數列中相鄰前後兩項的比作為近似值來代替．越大，比值越近似黃金分割比．
我們接著分析魔術師秋先生的第二個魔術，其祕密在哪裡呢？補洞用的那一小塊面積是從哪裡來的呢？根據識破第一個魔術的經驗，我們來考查拼成新的無洞正方形的各個尺寸（圖1.14）是否全都準確無誤？這就要追查到分割有洞正方形的各個尺寸（圖1.15）是否全都準確無誤碼？在圖1.15中分割正方形四邊的尺寸是取定的，用不著懷疑．值得懷疑的是中間的那條分割線，它的尺寸可靠嗎？其中是正確的，“”及“”對嗎？
而它們正是新拼正方形兩邊上線段及的尺寸．如圖1.15所示，分別以直線和為軸和軸建立座標系，於是有（0，7），（12，12），（7，0），（7，3），要得到及的長度，只須求出點的座標即可．是直線與直線的交點．直線的方程是，即；直線的方程是．兩方程聯立解得交點的座標為（7，）．於是得到，因而．這就是說，在新拼正方形（圖1.14）中，左邊上的線段的長不是7而是，右邊上的線段的長不是10而是．這樣，新拼圖形的左邊長為，右邊長為，上下兩邊，因此新拼圖形不是邊長為12的正方形，而是一個的長方形，比原來的有洞正方形稍微短了一點點（短1個單位長的）．兩者的面積相差（單位面積），而這正好等於那個洞的面積．這個補洞的魔術之所以能夠成功，靠的就是兩者之差是一個很狹窄的細長條，不易被人覺察，但在精確的數學計算面前，祕密馬上就被揭穿了．
我們也可以用平面幾何方法算出圖1.15中的線段實際長多少．過作的平行線交於（圖1.15），則～，於是有，即，得，於是