層次法數學建模論文

　　層次分析法***Analytic Hierarchy Process，簡稱AHP***是將與決策總是有關的元素分解成目標、準則、方案等層次，在此基礎之上進行定性和定量分析的決策方法。下文是小編為大家整理的關於的範文，歡迎大家閱讀參考!

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　　層次分析法建模

　　70 年代由美國運籌學家T·L·Satty提出的，是一種定性與定量分析相結合的多目標決策分析方法論。吸收利用行為科學的特點，是將決策者的經驗判斷給予量化，對目標***因素***結構複雜而且缺乏必要的資料情況下，採用此方法較為實用，是一種系統科學中，常用的一種系統分析方法，因而成為系統分析的數學工具之一。

　　一、問題舉例：

　　A.大學畢業生就業選擇問題

　　獲得大學畢業學位的畢業生，“雙向選擇”時，用人單位與畢業生都有各自的選擇標準和要求。就畢業生來說選擇單位的標準和要求是多方面的，例如：

　　① 能發揮自己的才幹為國家作出較好貢獻***即工作崗位適合發揮專長***;

　　② 工作收入較好***待遇好***;

　　③ 生活環境好***大城市、氣候等工作條件等***;

　　④ 單位名聲好***聲譽-Reputation***;

　　⑤ 工作環境好***人際關係和諧等***

　　⑥ 發展晉升***promote, promotion***機會多***如新單位或單位發展有後勁***等。

　　問題：現在有多個用人單位可供他選擇，因此，他面臨多種選擇和決策，問題是他將如何作出決策和選擇?——或者說他將用什麼方法將可供選擇的工作單位排序?

　　B.假期旅遊地點選擇

　　暑假有3個旅遊勝地可供選擇。例如：P1：蘇州杭州，P2北戴河，P3桂林，到底到哪個

　　地方去旅遊最好?要作出決策和選擇。為此，要把三個旅遊地的特點，例如：①景色;②費用;③居住;④環境;⑤旅途條件等作一些比較——建立一個決策的準則，最後綜合評判確定出一個可選擇的最優方案。

　　目標層

　　準則層

　　方案層

　　C.資源開發的綜合判斷

　　7種金屬可供開發，開發後對國家貢獻可以通過兩兩比較得到，決定對哪種資源先開發，效用最用。

　　二、問題分析：

　　例如旅遊地選擇問題：一般說來，此決策問題可按如下步驟進行：

　　***S1***將決策解分解為三個層次，即：

　　目標層：***選擇旅遊地***

　　準則層：***景色、費用、居住、飲食、旅途等5個準則***

　　方案層：***有P1，P2，P3三個選擇地點***

　　並用直線連線各層次。

　　***S2***互相比較各準則對目標的權重，各方案對每一個準則的權重。這些許可權重在人的思維過

　　程中常是定性的。

　　例如：經濟好，身體好的人：會將景色好作為第一選擇;

　　中老年人：會將居住、飲食好作為第一選擇;

　　經濟不好的人：會把費用低作為第一選擇。

　　而層次分析方法則應給出確定權重的定量分析方法。

　　***S3***將方案層對準則層的權重，及準則層對目標層的權重進行綜合。

　　***S4***最終得出方案層對目標層的權重，從而作出決策。

　　以上步驟和方法即是AHP的決策分析方法。

　　三、確定各層次互相比較的方法——成對比較矩陣和權向量

　　因素比較方法 —— 成對比較矩陣法：

　　目的是，要比較某一層n個因素C1,C2, , Cn對上一層因素O的影響***例如：旅遊決策解中，比較景色等5個準則在選擇旅遊地這個目標中的重要性***。

　　採用的方法是：每次取兩個因素Ci和Cj比較其對目標因素O的影響，並用aij表示，全部

　　比較的結果用成對比較矩陣表示，即：

　　A***aij***nxn, aij0, aji1aij***或aijaij1*** ***1***

　　由於上述成對比較矩陣有特點： A***aij*** , aij0, aij

　　1aji

　　1aji

　　故可稱A為正互反矩陣：顯然，由 aij，即：aijaji1，故有：aji1

　　四、一致性檢驗——一致性指標：

　　1.一致性檢驗指標的定義和確定——CI的定義：

　　maxn

　　CI

　　n1

　　一般CI01，認為主觀判斷矩陣A的一致性可以接受，否則應重新進行兩兩比較，構造主觀判斷矩陣。

　　2.隨機一致性檢驗指標——RI

　　問題：實際操作時發現：主觀判斷矩陣A的維數越大，判斷的一致性越差，故應放寬對高維矩

　　陣的一致性要求。於是引入修正值RI來校正一致性檢驗指標：即定義RI的修正值表為：

　　CIRI

　　並定義新的一致性檢驗指標——一致性比率為：CR

　　當：CR

　　CIRI

　　01時，認為主觀判斷矩陣A的不一致程度在容許範圍之內，

　　可用其特徵向量作為權向量。否則，對主觀判斷矩陣A重新進行成對比較，構重新的主觀判斷矩陣A。 注：上式CR

　　CIRI

　　0

　　1的選取是帶有一定主觀信度的。

　　五、標度——比較尺度解：

　　六、組合權向量的計算——層次總排序的權向量的計算

　　七、層次分析法的基本步驟：

　　***S1***建立層次結構模型

　　將有關因素按照屬性自上而下地分解成若干層次：

　　同一層各因素從屬於上一層因素，或對上層因素有影響，同時又支配下一層的因素或受到下層因素的影響。

　　最上層為目標層***一般只有一個因素***，最下層為方案層或物件層/決策層，中間可以有1個或幾個層次，通常為準則層或指標層。

　　當準則層元素過多***例如多於9個***時，應進一步分解出子準則層。

　　***S2***構造成對比較矩陣，以層次結構模型的第2層開始，對於從屬於***或影響及***上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和1～9比較尺度構造成對比較矩陣，直到最下層。

　　***S3***計算***每個成對比較矩陣的***權向量並作一致性檢驗

　　***S4***計算組合權向量並作組合一致性檢驗——即層次總排序 八、應用例項

　　目標層：

　　準則層：

　　決策層： 1.

　　1

　　43312121755

　　112111A4723=0.25

　　112110.333350.333

　　

　　11

　　311

　　35

　　0.510.1430.20.2

　　47123

　　350.511

　　

　　50.333

　　1

　　1

　　3

　　max 5.0721

　　0.26360.4758

　　

　　 5.0721 , W0.0538

　　0.09810.1087

　　故有最大特徵根max

　　對A一致性檢驗指標：CI

　　maxn

　　n1

　　

　　0.07214

　　0.018

　　RI1.12CR

　　0.021.12

　　0.01610.1

　　故通過檢驗。

　　2.準則B1, B2, B3, B4, B5相對於P1, P2, P3的成對比較矩陣為

　　b11

　　B1b21

　　b31

　　b12b22b32

　　

　　b131

　　

　　b231/2

　　

　　b33211/2

　　1

　　

　　2B23

　　

　　18

　　5

　　3

　　13

　　

　　31

　　1B31

　　1/3

　　111/3

　　331

　　

　　B4

　　

　　14

　　311

　　14

　　1 B51

　　41

　　

　　114

　　

　　4 41

　　對以上每個比較矩陣都可計算出最大特徵根max及物件的特徵向量W***即權重向量***，並進行一致性檢驗：CIRI CR

　　列表如下：

　　n

　　其中W1, W2, W3的計算公式為：Wi

　　a

　　j1

　　j

　　bij ***i1,,n***

　　WP1

　　

　　因此層次總排序：組合權向量為：WWP2

　　WP

　　30.29920.2452 0.4556

　　故最終決策為P3首選，P1次之，P2最後。 組合一致性檢驗：

　　m

　　a

　　由CR

　　j1m

　　j

　　CIRI

　　j

　　可知：組合一致性檢驗結果為——層次總排序的一致性檢驗：

　　j

　　j

　　a

　　j1

　　5

　　a

　　CR

　　j15

　　j

　　CI3

　　0.00260.1， RIj

　　a

　　j1

　　j

　　最下層對第一層的組合一致性比率為0.0161+0.0026=0.0187. 故整個層次一致性檢驗通過。

　　6

　　2

　　基於層次分析法的數學分析教材選擇

　　摘 要：數學分析課程是數學專業的核心基礎課，該課程具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和科學的系統性，從而使得大部分大一新生在學習該課程時遇到較大的困難，導致難以達到很好的學習效果繼而影響後繼課程的學習。為更好地提高教育教學質量，實踐以學生為主體的辦學理念，選擇一套適合該院學生的該課程教材是教學改革的重要環節之一。通過引入層次分析法，計算出數學分析教材選擇中的指標權重，從而得到更合理、更科學的數學分析教材選擇模型。

　　關鍵詞：教材選擇 層次分析法 指標體系

　　1 方法步驟

　　1.1 層次分析法

　　層次分析法***Analytic Hierarchy Process，簡記AHP***是由T.L.Saaty等人在20世紀70年代提出的一種定性和定量相結合的、系統化、層次化的分析方法。該方法自提出之後，由於它在處理複雜的決策問題上的適應性和有效性已經在眾多領域得到了成功的應用。

　　1.2 建立層次結構模型

　　根據應用型地方本科院校培養人才目標及數學分析教材選擇時涉及到的因素進行充分分析，建立層次結構如圖1所示。

　　第一層：目標層A，表示系統要達到的目標“最佳教材A”。

　　第二層：主準則層B，衡量達到目標的各項準則，包括知識體系B1、學生心理B2、質量體系B3。

　　第三層：子準則層C，是衡量達到主準則層的各項子準則，包括數學分析知識介紹C1、結構安排情況C2、難易程度C3、符合認識發展規律C4、學習興趣C5、學習主動性C6、印刷水平C7、教材價格C8、讀者服務C9。

　　第四層：方案層D，是實現目標可能採取的各種方案。對眾多的數學分析教材進行篩選後選定了3套教材，即華東師大編寫數學分析D1;劉玉蓮、傅沛仁編數學分析D2;王綿森、馬知恩編數學分析D3。

　　1.3 構造成對比較陣及計算權向量並做一致性檢驗

　　從層次結構模型的第二層開始，對於從屬於***或影響及***上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和1～9比較尺度構造成對比較陣，直到最下層。由此得到主準則層B對目標層A的判斷矩陣，利用Matlab軟體對求出最大特徵值。對做一致性檢驗，指標為，其中為判斷矩陣的階數。檢驗係數為，表明矩陣具有滿意的一致性。其中為平均一致性指標，當時，。同時可求得的對應於的單位特徵向量為。

　　2 結語

　　從層次分析模型可知，最佳教材選擇應為D1，即華東師範大學數學系編《數學分析***第四版***》。D2所佔比例與D1所佔比例較接近，這也說明在實際工作中這兩部教材被眾多普通高校所選擇使用的主要原因。應用層次分析法對數學分析教材進行選擇，能夠很好地反映教材的實際情況，具有一定的合理性，避免了憑感覺選擇教材的侷限性，從而能夠更好地為教學工作提供支援。但是用此方法在構造判斷矩陣時任具有一定的主觀性，各項指標權重及測評指標的內涵的確定仍有待進一步的研究與探索。

　　參考文獻

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