論極限思想的辯證思考

　　微積分是研究客觀世界運動現象的一門學科，我們引入極限概念對客觀世界運動過程加以描述， 用極限方法建立其數量關係並研究其運動結果[1]。極限理論是微積分學的基礎理論，貫穿整個微積分學。要學好微積分，必須認識和理解極限理論，而把握極限理論的前提，首先要認識極限思想。極限思想蘊涵著豐富的辯證思想，是變與不變、過程與結果、有限與無限、近似與精確、量變與質變以及否定與肯定的對立統一。

　　1. 極限思想與辯證哲學的聯絡

　　1.1 極限思想是有限與無限的對立統一

　　在辨證法中，有限與極限是對立統一的。無限與有限有本質的不同， 但二者又有聯絡， 無限是有限的發展，同時藉助極限法，從有限認識無限[2]。例如，在極限式lim n→∞ xn=a 中xn對應數列中的每一項， 這些不同的數值xn既有相對靜止性，又有絕對的運動性。數列中的每一項xn和a 都是確定不變的量， 是有限數; 隨著n無限增大，有限數xn向a 無限接進，正是這些有限數xn的無限變化，體現了無限運動的變化過程，這種無限運動變化結果是數值。因此在極限思想中無限是有限的發展，有限是無限的結果，他們既是對立又是統一的。

　　1.2 極限思想是近似與精確的對立統一

　　近似與精確是對立統一的關係， 在一定條件下可相互轉化， 這種轉化是理解數學運算的重要方法[2]。

　　在極限抽象的概念中，引入例項如“圓內接正多邊形面積”，其內結多邊形面積是該圓面積的近似值，當多邊形的邊數無限增大時， 內結多變形面積無限接近圓面積，取極限後就可得到圓面積的精確值，這就是藉助極限法，從近似認識精確。又如在極限式lim n→∞ xn=a 中，當n無限增大時，數列的項x1，x2，…，xn反映變數xn無限的變化過程，而a 反映了變數xn無限變化的結果，每個xn都是a 的近似值，並且當n 越大，精確度越高;當n 趨於無窮時，近似值xn轉化為精確值a。雖然近似與精確是兩個性質不同、完全對立的概念，但是通過極限法，建立兩者之間的聯絡，在一定條件下可以相互轉化。因此近似與精確既是對立又是統一的。

　　1.3 極限思想是變與不變的對立統一

　　“變”與“不變”反映了客觀事物運動變化與相對靜止兩種不同狀態，不變是相對的，變是絕對的，但它們在一定條件下又可相互轉化。例如，平面內一條曲線C上某一點P 的切線斜率為kp。除P 點外曲線上點的斜率k 是變數，kp是不變數，曲線上不同的點對應不同的斜率K，斜率k 不可能等於kp，k 與kp是變與不變的對立關係;同時，它們之間也體現了一種相互聯絡相互依賴的關係。當曲線上的點無限接近P 點過程中，斜率k無限接近kp，變化的量向不變的量逐漸接近。當無限接近的結果產生質的飛躍時，變數轉化為不變數，即“變”而“不變”，這體現了變與不變的統一關係。

　　1.4 極限思想是過程與結果的對立統一

　　過程和結果在哲學上是辯證統一的關係， 在極限思想中也充分體現了結果與過程的對立統一。在上例中，當曲線上的點無限接近點P 的變化過程中，k 是變化過程，kp是變化結果。一方面，無論曲線上點多麼接近點P，都不能與點P 重合，同樣曲線上變化點的斜率k 也不等於kp，這體現了過程與結果的對立性;另一方面，隨著無限接近過程的進行，斜率k 越來越接近kp，二者之間有緊密的聯絡， 無限接近的變化結果使得斜率k 轉化為kp，這體現了過程與結果的統一性。所以，通過研究曲線上點斜率k 的變化過程得到P 點的斜率kp就是過程與結果的對立統一。

　　1.5 極限思想是量變與質變的對立統一

　　在唯物辨證法中， 任何事物都具有質和量兩個方面，都是質和量的統一體。質是指事物成為它自身並區別於其他事物的內在規定性，量是指事物存在的規模、發展程度和速度， 以及它的構成成分在空間上的排列組合等可以用數量來表示的規定性[3]。量變和質變既有區別又有聯絡，兩者之間有著辯證關係。量變是質變的準備， 量的變化達到一定的度， 就不可避免地引起質變，只有質的變化才是事物根本性質的變化，量變質變規律在數學研究工作中起重要作用[4]。對任何一個單位圓的內接正多邊形，事物的質是圓的內接多邊形，量是內接多邊形的邊數，當邊數無限增加，得到的仍是圓內接正多邊形，是量變，不是質變，量變體現事物發展的連續性， 在事物量變過程中， 保持事物本身質的穩定性。但當邊數增加的無限過程中，由於量的動態變化，多邊形越來越接近圓，為質變創造條件，多邊形面積就變轉化為圓面積，促進量質轉化，達到矛盾統一。

　　1.6 極限思想是否定與肯定的對立統一

　　任何事物的內部都包含著肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的對立統一。單位圓和它的內接正多邊形分別是兩個事物的對立面， 內接正多邊形是事物對自身的肯定，其中也包含著否定，這種內在的否定因素是通過圓內接正多邊形邊數的改變而體現的。隨著圓內接正多邊形的邊數逐漸增加至無窮時，內接多邊形的面積轉化為該單位圓的面積， 促使該事物轉化為自己的對立面，由肯定達到自身的否定，這體現了否定與肯定的對立; 圓的內接正多邊形和圓雖是兩個對立的事物，但是二者之間有緊密的聯絡，圓內接正多邊形的面積可以轉化為圓的面積， 而單位圓是通過逐步增加內接正多邊形的邊數來實現的， 從而建立了這二者的聯絡，體現了否定與肯定的統一。

　　2. 極限思想與辨證哲學的研究意義

　　在唯物辯證法中，客觀事物之間相互影響、相互制約和相互作用的關係無處不在，即使是性質完全不同、矛盾對立的兩個事物， 也都有其相互聯絡的一面。所以，在微積分的學習過程中，不容忽視唯物辯證法普遍聯絡思想的滲透。辯證思維在數學思維中的滲透和理解，其實質就是按照唯物辯證法的原則，在聯絡和發展中把握認識物件，在對立統一中認識事物。通過上述分析，極限思想貫穿唯物辨證哲學的範疇，它揭示了變與不變、過程與結果、有限與無限、近似與精確、量變與質變的對立統一[4]。我們在理解極限思想時必須把單一、封閉、靜態的形式邏輯思維提高到多維、開放、動靜態相結合的辯證邏輯思維。數學思維與哲學思想的融合是學好數學的高層次要求， 領悟數學思維中的哲學思想和在哲學思想的指導下進行數學思維， 是提高學生數學素養、理解數學知識，培養學生數學能力的重要方法和手段