初中數學知識點總結及常見誤區

General 更新 2024年11月28日

  知識點總結

  一、軸對稱與軸對稱圖形:

  1.軸對稱:把一個圖形沿著某一條直線摺疊,如果它能夠與另一個圖形重合,那麼就說這兩個圖形關於這條直線對稱,兩個圖形中的對應點叫做對稱點,對應線段叫做對稱線段。

  2.軸對稱圖形:如果一個圖形沿著一條直線摺疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,那麼這個圖形叫做軸對稱圖形,這條直線就是它的對稱軸。

  注意:對稱軸是直線而不是線段

  3.軸對稱的性質:

  ***1***關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形;

  ***2***如果兩個圖形關於某條直線對稱,那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線;

  ***3***兩個圖形關於某條直線對稱,如果它們的對應線段或延長線相交,那麼交點在對稱軸上;

  ***4***如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那麼這兩個圖形關於這條直線對稱。

  4.線段垂直平分線:

  ***1***定義:垂直平分一條線段的直線是這條線的垂直平分線。

  ***2***性質:①線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等;

  ②到一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上。

  注意:根據線段垂直平分線的這一特性可以推出:三角形三邊的垂直平分線交於一點,並且這一點到三個頂點的距離相等。

  5.角的平分線:

  ***1***定義:把一個角分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線.

  ***2***性質:①在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

  ②到一個角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.

  注意:根據角平分線的性質,三角形的三個內角的平分線交於一點,並且這一點到三條邊的距離相等.

  6.等腰三角形的性質與判定:

  性質:

  ***1***對稱性:等腰三角形是軸對稱圖形,等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸,或底邊上的高所在的直線是它的對稱軸,或頂角的平分線所在的直線是它的對稱軸;

  ***2***三線合一:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合;

  ***3***等邊對等角:等腰三角形的兩個底角相等。

  說明:等腰三角形的性質除“三線合一”外,三角形中的主要線段之間也存在著特殊的性質,如:①等腰三角形兩底角的平分線相等;②等腰三角形兩腰上的中線相等;

  ③等腰三角形兩腰上的高相等;④等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等。

  判定定理:如果一個三角形的兩個角相等,那麼這兩個角所對的邊也相等***簡稱:等角對等邊***。

  7.等邊三角形的性質與判定:

  性質:***1***等邊三角形的三個角都相等,並且每個角都等於60°;

  ***2***等邊三角形具有等腰三角形的所有性質,並且在每條邊上都有“三線合一”。因此等邊三角形是軸對稱圖形,它有三條對稱軸,而等腰三角形***非等邊三角形***只有一條對稱軸。

  判定定理:有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

  說明:等邊三角形是一種特殊的三角形,容易知道等邊三角形的三條高***或三條中線、三條角平分線***都相等。

  二、中心對稱與中心對稱圖形:

  1.中心對稱:把一個圖形繞著某一個點旋轉180°,如果它能夠和另外一個圖形重合,那麼就說這兩個圖形關於這個點對稱或中心對稱,這個點叫做對稱中心,這兩個圖形中的對應點叫做關於中心的對稱點。

  2.中心對稱圖形:在平面內,一個圖形繞某個點旋轉180°,如果旋轉前後的圖形互相重合,那麼這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點叫做它的對稱中心。

  3.中心對稱的性質:***1***關於中心對稱的兩個圖形是全等形;

  ***2***在成中心對稱的兩個圖形中,連線對稱點的線段都經過對稱中心,並且被對稱中心平分;

  ***3***成中心對稱的兩個圖形,對應線段平行***或在同一直線上***且相等。

  三、軸對稱與中心對稱的區別與聯絡:

軸對稱 中心對稱
有一條對稱軸——直線 有一個對稱中心——點
圖形沿對稱軸對摺***翻折180º***後重合 圖形繞對稱中心旋轉180 º後重合
對稱點的連線被對稱軸垂直平分 對稱點連線經過對稱中心,且被對稱中心平分

 





     四、幾種常見的軸對稱圖形和中心對稱圖形:

 
     軸對稱圖形:線段、角、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓

  對稱軸的條數:角有一條對稱軸,即該角的角平分線;等腰三角形有一條對稱軸,是底邊的垂直平分線;等邊三角形有三條對稱軸,分別是三邊上的垂直平分線;菱形有兩條對稱軸,分別是兩條對角線所在的直線,矩形有兩條對稱軸分別是兩組對邊中點的直線;

  中心對稱圖形:線段 、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓

  對稱中心:線段的對稱中心是線段的中點;平行四邊形、菱形、矩形、正方形的對稱中心是對角線的交點,圓的對稱中心是圓心。

  說明:線段、菱形、矩形、正方形以及圓它們即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。

  五、座標系中的軸對稱變換與中心對稱變換:

  點P***x,y***關於x軸對稱的點P1的座標為***x,-y***,關於y軸對稱的點P2的座標為***-x,y***。關於原點對稱的點的座標P3的座標是***-x,-y***這個規律也可以記為:關於y軸***x軸***對稱的點的縱座標***橫座標***相同,橫座標***縱座標***互為相反數。 關於原點成中心對稱的點的,橫座標為原橫座標的相反數,縱座標為原縱座標的相反數,即橫座標、縱座標同乘以-1。

  常見考法

  ***1***判別某些圖形是不是軸對稱圖形能找出對稱軸,對稱軸的條數、判別某些圖形是中心對稱圖形能找到對稱中心;***2***利用垂直平分線性質、角平分線性質證明一些結論;***3***利用等腰三角形三線合一性質證明線段相等、線段垂直;***4***直接證明某一個三角形是等腰三角形;***4***軸對稱圖形的實際應用***如鏡子中的軸對稱問題、解決一些摺疊問題、還有求幾個線段之和最短問題***。

  誤區提醒

  ***1***把軸對稱與軸對稱圖形的概念、中心對稱與中心對稱圖形的概念混淆;***2***把軸對稱與全等混淆;***3***找軸對稱圖形的對稱軸不全、不準;***4***在解有關等腰三角形問題時,沒有進行分類討論,造成漏解。

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