湘教版八年級上冊數學期末試卷
考場不是戰場，讓心保持平常。祝你八年級數學期末考順利，早日題名金榜!小編整理了關於，希望對大家有幫助!
湘教版八年級上冊數學期末試題
一、選擇題：***本大題共10個小題，每小題3分，共30分***以下各小題，每小題都給出A、B、C、D四個選項，但其中只有一個選項符合題目的要求，請把它選出來，並把它的代號填在相應的題目後的括號內.若選錯、多選、不選均計0分.
1.下列各數的立方根是﹣2的數是*** ***
A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣8
2.下列運算結果為a6的是*** ***
A.a2+a3 B.a2•a3 C.***﹣a2***3 D.a8÷a2
3.對某班60名同學的一次數學測驗成績進行統計，如果頻數分佈直方圖中80.5～90.5分這一組的頻數是18，那麼這個班的學生這次數學測驗成績在80.5～90.5分之間的頻率是*** ***
A.18 B.0.4 C.0.3 D.0.35
4.下列多項式中能用公式進行因式分解的是*** ***
A.x2+4 B.x2+2x+4 C.x2﹣x+ D.x2﹣4y
5.若等腰三角形的有一個角為100°，則它一腰上的高與底邊的夾角是*** ***
A.50° B.40° C.10° D.80°
6.下列真命題中，逆命題也是真命題的是*** ***
A.全等三角形的對應角都相等
B.如果兩個實數相等，那麼這兩個實數的平方相等
C.對頂角相等
D.等邊三角形每一個都等於60°
7.△ABC的三邊為a、b、c，且***a+b******a﹣b***=c2，則*** ***
A.△ABC是銳角三角形 B.c邊的對角是直角
C.△ABC是鈍角三角形 D.a邊的對角是直角
8.如圖，從邊長為***a+1***cm的正方形紙片中剪去一個邊長為***a﹣1***cm的正方形***a>1***，剩餘部分沿虛線又剪拼成一個矩形***不重疊無縫隙***，則該矩形的面積是*** ***
A.2cm2 B.2acm2 C.4acm2 D.***a2﹣1***cm2
9.如圖，AB=AC，CF⊥AB於F，BE⊥AC於E，CF與BE交於點D.有下列結論：①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③點D在∠BAC的平分線上;④點C在AB的中垂線上.以上結論錯誤的有*** ***個.
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構成一個直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m.按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連線管道，則O到三條支路的管道總長***計算時視管道為線，中心O為點***是*** ***
A.2m B.3m C.6m D.9m
二、填空題：***本大題共六個小題每個3分，共計18分***
11.請你在橫線上寫一個無理數__________.
12.到一個角的兩邊距離相等的點都在__________.
13.若5x=12，5y=6，則5x﹣2y=__________.
14.如果多項式2x2﹣3kx+1能分解因式，其結果是***2x+1******x+1***，則k=__________.
15.某住宅小區有一塊草坪如圖所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，這塊草坪的面積是__________米2.
16.定義運算a★b=***1﹣a***b，下面給出了關於這種運算的四個結論：
①2★***﹣2***=3
②a★b=b★a
③若a+b=0，則***a★a***+***b★b***=2ab
④若a★b=0，則a=1或b=0.
其中正確結論的序號是__________***填上你認為正確的所有結論的序號***.
三、解答題***本大題共8個小題，共72分***解答應寫出必要的文字說明、推理過程或演算步驟.
17.計算下列各題
***1******﹣2m+1******2m+1***
***2***簡便計算：2014×2016﹣20152
***3***[***x﹣2y***2+***x﹣2y******x+2y***﹣2x***2x﹣y***]÷2x.
18.把下列多項式分解因式
***1***﹣a+a3b2
***2******x﹣1******x﹣3***+1.
19.如圖，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD.求證：BC=DE.
20.為了解今年初二學生的數學學習情況，某校在第一輪模擬測試後，對初二全體同學的數學成績作了統計分析，繪製如圖表：
成績 頻數 頻率
優秀 45 b
良好 a 0.3
合格 105 0.35
不合格 60 c
請結合圖表所給出的資訊解答下列問題：
***1***該校初二學生共有多少人?
***2***求表中a，b，c的值，並補全條形統計圖.
21..閱讀下面材料：
在數學課上，老師提出如下問題：
小芸的作法如圖：
請你回答：
***1***作圖第一步為什麼要大於 AB的長?
***2***小芸的作圖是否正確?請說明理由.
22.為了弘揚“社會主義核心價值觀”，樂至縣政府在廣場樹立公益廣告牌，如圖所示，為固定廣告牌，在兩側加固鋼纜，已知鋼纜底端D距廣告牌立柱距離CD為3米，從D點測得廣告牌頂端A點和底端B點的距離分別是5米和 米.
***1***求公益廣告牌的高度AB;
***2***求∠BDC的度數.
23.仔細.觀察下列各式及其展開式：
請你根據上式各項係數的規律，求出***a+b***9的展開式.
24.如圖所示，四邊形ABCD為矩形***對邊相等，四個角是直角***，過點D作對角線BD的垂線，交BC的延長線於點E，在BE上取一點F，使DF=EF=4.設AB=x，AD=y，求代數式 的值.
25.如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線.動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結BE.
***1***填空：∠CAM=__________度;
***2***若點D線上段AM上時，求證：△ADC≌△BEC;
***3***當動點D在直線AM上時，設直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值?並說明理由.
參考答案
一、選擇題：***本大題共10個小題，每小題3分，共30分***以下各小題，每小題都給出A、B、C、D四個選項，但其中只有一個選項符合題目的要求，請把它選出來，並把它的代號填在相應的題目後的括號內.若選錯、多選、不選均計0分.
1.下列各數的立方根是﹣2的數是*** ***
A.4 B.﹣4 C.8 D.﹣8
【考點】立方根.
【專題】計算題;實數.
【分析】利用立方根定義計算即可得到結果.
【解答】解：立方根是﹣2的數是﹣8，
故選D
【點評】此題考查了立方根，熟練掌握立方根的定義是解本題的關鍵.
2.下列運算結果為a6的是*** ***
A.a2+a3 B.a2•a3 C.***﹣a2***3 D.a8÷a2
【考點】同底數冪的除法;合併同類項;同底數冪的乘法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據合併同類項、同底數冪的乘除法以及積的乘方和冪的乘方進行計算即可.
【解答】解：A、a3÷a2不能合併，故A錯誤;
B、a2•a3=a5，故B錯誤;
C、***﹣a2•***3=﹣a6，故C錯誤;
D、a8÷a2=a6，故D正確;
故選D.
【點評】本題考查了同底數冪的乘除法、合併同類項以及積的乘方和冪的乘方，是基礎知識要熟練掌握.
3.對某班60名同學的一次數學測驗成績進行統計，如果頻數分佈直方圖中80.5～90.5分這一組的頻數是18，那麼這個班的學生這次數學測驗成績在80.5～90.5分之間的頻率是*** ***
A.18 B.0.4 C.0.3 D.0.35
【考點】頻數***率***分佈直方圖;頻數與頻率.
【專題】計算題.
【分析】根據頻率、頻數的關係：頻率= 求解即可.
【解答】解：成績在80.5～90.5分之間的頻率為 =0.3.
故本題選C.
【點評】本題考查頻率、頻數的關係：頻率= .
4.下列多項式中能用公式進行因式分解的是*** ***
A.x2+4 B.x2+2x+4 C.x2﹣x+ D.x2﹣4y
【考點】因式分解-運用公式法.
【分析】A、兩項平方項的符號都為正;B、為完全平方公式的話，中間項應為4x;C符合完全平方公式;D只有一項平方項.
【解答】解：A、不符合符號相反，錯誤;
B、不符合中間的那項為兩底數積的2倍，錯誤;
C、符合完全平方公式，正確;
D、不符合兩項平方項，錯誤.
故選C.
【點評】能否用公式法進行因式分解關鍵看是否符合相關公式的特點：能用平方差公式進行因式分解的式子的特點是：兩項平方項，符號相反;能用完全平方公式法進行因式分解的式子的特點是：兩項平方項的符號相同，另一項是兩底數積的2倍.
5.若等腰三角形的有一個角為100°，則它一腰上的高與底邊的夾角是*** ***
A.50° B.40° C.10° D.80°
【考點】等腰三角形的性質.
【分析】已知給出了等腰三角形的頂角為100°，要求腰上的高與底邊的夾角可以根據等腰三角形的性質：等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等於頂角的一半求解.
【解答】解：∵等腰三角形的有一個角為100°，
∴等腰三角形的頂角為100°
∴根據等腰三角形的性質：等腰三角形的一腰上的高與底邊的夾角等於頂角的一半;
∴高與底邊的夾角為50°.
故選A.
【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質，知道等腰三角形的一內角為100°，則頂角為100°，讀懂題意，是解答本題的關鍵.
6.下列真命題中，逆命題也是真命題的是*** ***
A.全等三角形的對應角都相等
B.如果兩個實數相等，那麼這兩個實數的平方相等
C.對頂角相等
D.等邊三角形每一個都等於60°
【考點】命題與定理.
【分析】先分別寫出四個命題的逆命題，然後根據全等三角形的判定方法、平方根的定義、對頂角的定義和等邊三角形的判定方法判斷四個逆命題的真假.
【解答】解：A、“全等三角形的對應角都相等”的逆命題為對應角相等的兩三角形全等，此逆命題為假命題，所以A選項錯誤;
B、“如果兩個實數相等，那麼這兩個實數的平方相等”的逆命題為如果兩個實數的平方相等，那麼這兩個數相等，此逆命題為假命題，所以B選項錯誤;
C、“對頂角相等”的逆命題為如果兩個角相等，那麼這兩個角為對頂角，此逆命題為假命題，所以C選項錯誤;
D、“等邊三角形每一個都等於60°”的逆命題為等每一個都等於60°的三角形為等邊三角形，此逆命題為真命題，所以D選項正確.
故選D.
【點評】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那麼…”形式.有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理.也考查了逆命題.
7.△ABC的三邊為a、b、c，且***a+b******a﹣b***=c2，則*** ***
A.△ABC是銳角三角形 B.c邊的對角是直角
C.△ABC是鈍角三角形 D.a邊的對角是直角
【考點】勾股定理的逆定理.
【專題】探究型.
【分析】先把等式***a+b******a﹣b***=c2化為a2=b2+c2的形式，再利用勾股定理的逆定理進行判斷即可.
【解答】解：∵***a+b******a﹣b***=c2，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，a為斜邊，
∴a邊的對角是直角.
故選D.
【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，根據題意把等式化為a2=b2+c2的形式是解答此題的關鍵.
8.如圖，從邊長為***a+1***cm的正方形紙片中剪去一個邊長為***a﹣1***cm的正方形***a>1***，剩餘部分沿虛線又剪拼成一個矩形***不重疊無縫隙***，則該矩形的面積是*** ***
A.2cm2 B.2acm2 C.4acm2 D.***a2﹣1***cm2
【考點】完全平方公式的幾何背景;平方差公式的幾何背景.
【專題】計算題.
【分析】根據題意得出矩形的面積是***a+1***2﹣***a﹣1***2，求出即可.
【解答】解：矩形ABCD的面積是S正方形EFGH﹣S正方形HQNM
=***a+1***2﹣***a﹣1***2，
=a2+2a+1﹣***a2﹣2a+1***，
=4a***cm2***，
故選C.
【點評】本題考查了完全平方公式的應用，主要考查學生的觀察圖形的能力和計算能力，題型較好，難度不大.
9.如圖，AB=AC，CF⊥AB於F，BE⊥AC於E，CF與BE交於點D.有下列結論：①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③點D在∠BAC的平分線上;④點C在AB的中垂線上.以上結論錯誤的有*** ***個.
A.1 B.2 C.3 D.4
【考點】全等三角形的判定與性質;線段垂直平分線的性質.
【分析】根據垂直的定義得到∠AFC=∠AEB=90°，根據三角形的內角和得到∠B=∠C，由全等三角形的判定定理得到△ABE≌△ACF***ASA***，故①選項正確，由AE=AF，AC=AB，得BF=CE，於是得到△BDF≌△CDE，選項②正確，根據全等三角形的性質得到AE=AF，AC=AB，連線AD，證得Rt△AFD≌Rt△AED***HL***，根據全等三角形的性質得到∠DAF=∠DAE，即點D在∠BAC的平分線上，選項③正確，而點F不一定是AB的中點，故④錯誤.
【解答】證明：∵BE⊥AC於E，CF⊥AB於F，
∴∠AFC=∠AEB=90°，故在Rt△AEB中，∠B=90°﹣∠A，在Rt△AFC中∠C=90°﹣∠A，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF***ASA***，
故①選項正確，
由AE=AF，AC=AB，得BF=CE，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE，選項②正確，
∵△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，AC=AB，
連線AD，
在Rt△AFD和Rt△AED中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AED***HL***，
∴∠DAF=∠DAE，即點D在∠BAC的平分線上，選項③正確，
而點F不一定是AB的中點，故④錯誤.
故選A.
【點評】本題主要考查了垂直定義，全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質與判定，角平分線的判定，熟記三角形判定定理是解決問題的關鍵.
10.如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構成一個直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m.按照輸油中心O到三條支路的距離相等來連線管道，則O到三條支路的管道總長***計算時視管道為線，中心O為點***是*** ***
A.2m B.3m C.6m D.9m
【考點】三角形的內切圓與內心;勾股定理.
【專題】壓軸題.
【分析】根據：△ABC的面積=△AOB的面積+△BOC的面積+△AOC的面積即可求解.
【解答】解：在直角△ABC中，BC=8m，AC=6m.
則AB= = =10.
∵中心O到三條支路的距離相等，設距離是r.
△ABC的面積=△AOB的面積+△BOC的面積+△AOC的面積
即： AC•BC= AB•r+ BC•r+ AC•r
即：6×8=10r+8r+6r
∴r= =2.
故O到三條支路的管道總長是2×3=6m.
故選：C.
【點評】本題主要考查了三角形的內心的性質，三角形內心到三角形的各邊的距離相等，利用三角形的面積的關係求解是解題的關鍵.
二、填空題：***本大題共六個小題每個3分，共計18分***
11.請你在橫線上寫一個無理數 .
【考點】無理數.
【專題】開放型.
【分析】無理數就是無限不迴圈小數.理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概念，有理數是整數與分數的統稱.即有限小數和無限迴圈小數是有理數，而無限不迴圈小數是無理數.
【解答】解：無理數有 ***π等，答案不唯一***.
故答案是： .
【點評】此題主要考查了無理數的定義，其中初中範圍內學習的無理數有：π，2π等;開方開不盡的數;以及像0.1010010001…，等有這樣規律的數.
12.到一個角的兩邊距離相等的點都在這個角的平分線上.
【考點】角平分線的性質.
【分析】熟記角平分線的性質定理，容易填出：到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上
【解答】解：根據定義可知：到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上、角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
【點評】此題主要考查學生對角平分線的性質定理識記情況，應熟記且能靈活應用這些性質是正確解答本題的關鍵.
13.若5x=12，5y=6，則5x﹣2y= .
【考點】同底數冪的除法;冪的乘方與積的乘方.
【分析】根據冪的乘方，可得同底數冪的除法，根據同底數冪的除法底數不變指數相減，可得答案.
【解答】解：52y=***5y***2=36.
5x﹣2y=5x÷52y=12÷36= ，
故答案為： .
【點評】本題考查了同底數冪的除法，利用冪的乘方得出同底數冪的除法是解題關鍵.
14.如果多項式2x2﹣3kx+1能分解因式，其結果是***2x+1******x+1***，則k=﹣1.
【考點】因式分解-十字相乘法等.
【分析】根據因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式乘積的形式，可得2x2﹣3kx+1=***2x+1******x+1***，再根據整式的乘法，可得多項式，根據相等多項式中相應的項的係數相等，可得答案.
【解答】解：2x2﹣3kx+1=***2x+1******x+1***，
***2x+1******x+1***=2x2+3x+1=2x2﹣3kx+1，
﹣3k=3，
解得k=﹣1，
故答案為：﹣1.
【點評】本題考查了因式分解，相等多項式中相應的項的係數相等得出﹣3k=3是解題關鍵.
15.某住宅小區有一塊草坪如圖所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，這塊草坪的面積是36米2.
【考點】勾股定理的逆定理;勾股定理.
【分析】連線AC，根據勾股定理，求得AC，再根據勾股定理的逆定理，判斷三角形ACD是直角三角形.這塊草坪的面積等於兩個直角三角形的面積之和.
【解答】解：連線AC，如圖，
∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，
∵AB=3米，BC=4米，∴AC=5米，
∵CD=12米，DA=13米，
∴△ACD為直角三角形，
∴草坪的面積等於=S△ABC+S△ACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36米2.
故答案為36.
【點評】此題主要考查了勾股定理的運用及直角三角形的判定等知識點，解題的關鍵是正確的作出輔助線構造直角三角形.
16.定義運算a★b=***1﹣a***b，下面給出了關於這種運算的四個結論：
①2★***﹣2***=3
②a★b=b★a
③若a+b=0，則***a★a***+***b★b***=2ab
④若a★b=0，則a=1或b=0.
其中正確結論的序號是③④***填上你認為正確的所有結論的序號***.
【考點】因式分解的應用.
【專題】新定義.
【分析】根據題中的新定義計算得到結果，即可作出判斷.
【解答】解：①2★***﹣2***=***1﹣2***×***﹣2***=2，本選項錯誤;
②a★b=***1﹣a***b，b★a=***1﹣b***a，故a★b不一定等於b★a，本選項錯誤;
③若a+b=0，則***a★a***+***b★b***=***1﹣a***a+***1﹣b***b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本選項正確;
④若a★b=0，即***1﹣a***b=0，則a=1或b=0，本選項正確，
其中正確的有③④.
故答案為③④.
【點評】此題考查了整式的混合運算，以及有理數的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵.
三、解答題***本大題共8個小題，共72分***解答應寫出必要的文字說明、推理過程或演算步驟.
17.計算下列各題
***1******﹣2m+1******2m+1***
***2***簡便計算：2014×2016﹣20152
***3***[***x﹣2y***2+***x﹣2y******x+2y***﹣2x***2x﹣y***]÷2x.
【考點】整式的混合運算.
【專題】計算題;整式.
【分析】***1***原式利用平方差公式計算即可得到結果;
***2***原式變形後，利用平方差公式化簡，計算即可得到結果;
***3***原式中括號中利用完全平方公式，平方差公式，以及單項式乘以多項式法則計算，去括號合併後利用多項式除以單項式法則計算即可得到結果.
【解答】解：***1***原式=1﹣***2m***2=1﹣4m2;
***2***原式=×﹣20152=20152﹣1﹣20152=﹣1;
***2***原式=***x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy***÷2x=***﹣2x2﹣2xy***÷2x=﹣x﹣y.
【點評】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運演算法則是解本題的關鍵.
18.把下列多項式分解因式
***1***﹣a+a3b2
***2******x﹣1******x﹣3***+1.
【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.
【專題】計算題;因式分解.
【分析】***1***原式提取a，再利用平方差公式分解即可;
***2***原式整理後，利用完全平方公式分解即可.
【解答】解：***1***原式=﹣a***1﹣a2b2***=﹣a***1+ab******1﹣ab***;
***2***原式=x2﹣4x+4=***x﹣2***2.
【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵.
19.如圖，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD.求證：BC=DE.
【考點】全等三角形的判定與性質.
【專題】證明題.
【分析】先證出∠CAB=∠DAE，再由SAS證明△BAC≌△DAE，得出對應邊相等即可.
【解答】證明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中， ，
∴△BAC≌△DAE***SAS***，
∴BC=DE.
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質;熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關鍵.
20.為了解今年初二學生的數學學習情況，某校在第一輪模擬測試後，對初二全體同學的數學成績作了統計分析，繪製如圖表：
成績 頻數 頻率
優秀 45 b
良好 a 0.3
合格 105 0.35
不合格 60 c
請結合圖表所給出的資訊解答下列問題：
***1***該校初二學生共有多少人?
***2***求表中a，b，c的值，並補全條形統計圖.
【考點】條形統計圖;頻數***率***分佈表.
【專題】計算題.
【分析】***1***用合格的人數除以它所佔的百分比即可得到該校初二學生的總人數;
***2***先用總人睡300乘以0.3即可得到a的值，再用45除以總人數300即可得到b的值，然後60除以300即可得到c的值，再補全統計圖.
【解答】解：***1***105÷0.35=300***人***;
即該校初二學生共有300人;
***2***a=300×0.3=90，
b=45÷300=0.15，
c= =0.2，
條形統計圖為：
【點評】本題考查了條形統計圖：條形統計圖是用線段長度表示資料，根據數量的多少畫成長短不同的矩形直條，然後按順序把這些直條排列起來;從條形圖可以很容易看出資料的大小，便於比較.
21..閱讀下面材料：
在數學課上，老師提出如下問題：
小芸的作法如圖：
請你回答：
***1***作圖第一步為什麼要大於 AB的長?
***2***小芸的作圖是否正確?請說明理由.
【考點】作圖—基本作圖;全等三角形的判定與性質.
【分析】***1***如果等於 AB，那麼只相交一點;如果小於 AB，那麼沒有相交;
***2***依據SSS證明△CAD≌△CBD，從而得到CD是AB的對稱軸，故此CD是AB的垂直平分線.
【解答】解：***1***如果等於 ，那麼只相交一點;如果小於 ，那麼沒有相交
所以作圖第一步要大於 AB的長.
***2***小芸的作圖是正確的.
理由：由作圖知：AC=AD BC=BD 而CD是兩個三角形的公共邊.
∵在△CAD和△CBD中
∴△CAD≌△CBD***SSS***.
∴CD是AB的對稱軸
∴CD是AB的垂直平分線.
【點評】本題主要考查的值基本作圖﹣線段垂直平分線的作法，證得△CAD≌△CBD是解題的關鍵.
22.為了弘揚“社會主義核心價值觀”，樂至縣政府在廣場樹立公益廣告牌，如圖所示，為固定廣告牌，在兩側加固鋼纜，已知鋼纜底端D距廣告牌立柱距離CD為3米，從D點測得廣告牌頂端A點和底端B點的距離分別是5米和 米.
***1***求公益廣告牌的高度AB;
***2***求∠BDC的度數.
【考點】勾股定理的應用.
【分析】***1***直接利用勾股定理得出AC的長，進而得出BC的長即可得出AB的長;
***2***利用已知結合***1***中所求得出△DBC是等腰直角三角形，進而得出答案.
【解答】解：***1***在直角三角形ADC中，
AC= = =4***m***，
在直角三角形BDC中，
BC= = =3***m***，
故AB=AC﹣BC=1***米***
答：公益廣告牌的高度AB的長度為1m;
***2***∵在直角三角形BDC中，BC=CD=3m，
∴△DBC是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°.
【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，根據題意正確應用勾股定理是解題關鍵.
23.仔細.觀察下列各式及其展開式：
請你根據上式各項係數的規律，求出***a+b***9的展開式.
【考點】完全平方公式.
【專題】規律型.
【分析】先根據題意畫出圖形，再根據圖形得出即可.
【解答】解：如圖：
***a+b***9=a9+9a8b+36a7b2+84a6b3+126a5b4+126a4b5+84a3b6+36a2b7+9ab8+b9.
【點評】本題考查了完全平方公式的應用，能根據題意得出圖形是解此題的關鍵.
24.如圖所示，四邊形ABCD為矩形***對邊相等，四個角是直角***，過點D作對角線BD的垂線，交BC的延長線於點E，在BE上取一點F，使DF=EF=4.設AB=x，AD=y，求代數式 的值.
【考點】勾股定理;矩形的性質.
【分析】根據矩形的性質得到CD=AB=x，BC=AD=y，然後利用直角三角形和等腰三角形的性質得出∠BDF=∠DBF，因此DF=BF=4，得出CF=4﹣x，由勾股定理求出DF，即可得出代數式 的值.
【解答】解：由題意知：AB=CD=x，AD=BC=y，CD⊥BE，
∵BD⊥DE，
∴∠BDF+∠FDE=90°∠DBF+∠E=90°，
∵DF=EF，
∴∠E=∠FDE，
∴∠BDF=∠DBF，
∴DF=BF=4，
∴CF=4﹣x，
在Rt△CDF中 ，
∴ = .
【點評】本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質;熟練掌握勾股定理，證出DF=BF是解決問題的關鍵.
25.如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線.動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結BE.
***1***填空：∠CAM=30度;
***2***若點D線上段AM上時，求證：△ADC≌△BEC;
***3***當動點D在直線AM上時，設直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值?並說明理由.
【考點】全等三角形的判定與性質;等邊三角形的性質.
【分析】***1***根據等邊三角形的性質可以直接得出結論;
***2***根據等邊三角形的性質就可以得出AC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質就可以∠BCE=∠ACD，根據SAS就可以得出△ADC≌△BEC;
***3***分情況討論：當點D線上段AM上時，如圖1，由***2***可知△ACD≌△BCE，就可以求出結論;當點D線上段AM的延長線上時，如圖2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE=∠CAD=30°而得出結論;當點D線上段MA的延長線上時，如圖3，通過得出△ACD≌△BCE同樣可以得出結論.
【解答】解：***1***∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°.
∵線段AM為BC邊上的中線
∴∠CAM= ∠BAC，
∴∠CAM=30°.
故答案為：30;
***2***∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE
∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中
，
∴△ACD≌△BCE***SAS***;
***3***∠AOB是定值，∠AOB=60°，
理由如下：
①當點D線上段AM上時，如圖1，由***2***可知△ACD≌△BCE，則∠CBE=∠CAD=30°，
又∠ABC=60°
∴∠CBE+∠ABC=60°+30°=90°，
∵△ABC是等邊三角形，線段AM為BC邊上的中線
∴AM平分∠BAC，即
∴∠BOA=90°﹣30°=60°.
②當點D線上段AM的延長線上時，如圖2，
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE***SAS***
∴∠CBE=∠CAD=30°，
同理可得：∠BAM=30°，
∴∠BOA=90°﹣30°=60°.
③當點D線上段MA的延長線上時，
∵△ABC與△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中
∴△ACD≌△BCE***SAS***
∴∠CBE=∠CAD
同理可得：∠CAM=30°
∴∠CBE=∠CAD=150°
∴∠CBO=30°，∠BAM=30°，
∴∠BOA=90°﹣30°=60°.
綜上，當動點D在直線AM上時，∠AOB是定值，∠AOB=60°.
【點評】本題考查了等邊三角形的性質的運用，直角三角形的性質的運用，等式的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵.
湘教版八年級上冊數學期末試卷