初中數學文章

　　傳統的數學教學注重教師的教，而學生則是被動接受、重複記憶、題海訓練、強化儲存，根本沒有學生主體活動過程，下面就是小編給大家整理的，希望大家喜歡。

　　：新課改下初中數學教學反思

　　傳統的數學教學注重教師的教，而學生則是被動接受、重複記憶、題海訓練、強化儲存，根本沒有學生主體活動過程，新課程則提倡培養學生獨立思考能力、發現問題與解決問題的能力以及探究式學習的習慣，把關注學生的發展作為新課程的核心理念，新課程下的教師只不過是學生自我發展的引導者和促進者，因此一個稱職的初中數學教師，要以“課標”精神為指導，要在教學中不斷反思，不斷學習，與時共進。

　　一、 對數學教學理念的反思-----課堂教學行為是否改變?

　　新的教學理念認為教學是一種對話、一種溝通、一種合作共建，因而要求課堂教學應該是和諧、民主、平等的過程。學生不再是孤立的學習者，教師也不再是課堂的表演者，實踐證明師生之間、生生之間的互動合作，平等交流是目前數學課堂上較受歡迎的一種學習方式。因此教師教學中新的教學理念應用的體現，就是是否在教與學的互動活動中培養學生自主學習、探究學習和合作學習的習慣，提高他們獨立思考、創新思維的能力的形成。具體來說，教師的教學行為應有以下的轉變：1、由過去重“教”轉變為現在重“學”;2、由過去重“結果”轉變為現在重“過程”;3、由過去重“問答” 轉變為現在重“對話”;4由過去重“講解” 轉變為現在重“引導”;5、由過去重“程式化” 轉變為現在重“個性化”;6由過去重“強記” 轉變為現在技能的拓展。總而言之，評價教師課堂教學行為是否改變，不僅要看教師講課的水平，更重要的是要仔細考察學生學會和會學的程度以及學生的精神狀態。

　　二、 對數學教學設計的反思-----是否為學生的發展，設計教學?

　　教學設計是有效地上好每節課的必需環節，《數學課程標準》提出：“要讓學生在參與特定的數學活動，在具體情境中初步認識物件的特徵，獲得一些體驗。”這就要求教師要以用活用好教材，進行創造性地設計課堂，讓學生經歷學習過程，充分體驗數學學習。在設計時應更多地思考學生如何學，如何促進學生的發展。學生在課堂上如何討論、如何交流、如何合作、如何獲得結論;教師如何組織並促進討論、如何評價和激勵學生的學習熱情和探究的興趣等。總之我們要堅持“為學習而設計”“為學生髮展而設計”的原則，精心設計好課堂，只有好的設計才有可能使課堂變得生機勃勃、充滿智慧、探究和創新。

　　三、對教學效果進行反思----是否做到生活──數學──社會，有機結合?

　　《數學課程標準》指出：“數學教學應遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽成數學模型，並進行解釋與應用的過程。” 初中生已具有相當多的生活經驗，對生活中的許多數學現象或問題懷有濃厚的興趣，教師要巧妙地運用學生在生活中的感知，激發學生強烈的求知慾。 例如：1、商場購物時：一家打折，一家返卷，一家給予積分並有抽獎活動，另一家贈送禮品，如何選擇?2、房貸的問題，怎樣計算每個月要還的貸款。3、買彩票中獎問題等，對於已有的這些經驗，如果教師能在講授新知識前用問題形式提出來，學生定會產生解決問題的強烈慾望，學習勁頭定會高漲。學習數學知識的最終目的，是運用於社會、服務於社會，同時也是適應社會。 “生活即教育”“社會即學校”“教學做合一”最好的教育就是從生活中學習。結合數學教育的特點，教師要把生活、數學、社會有機地結合起來，讓學生在切身體會中感悟新知識、從而使課堂充滿盎然生氣。學生只有嘗試到了運用數學知識解決實際問題的樂趣，他們才能更好地投身於數學知識的學習中，積極主動地參與課堂活動，有了他們的切身經驗體會才能讓數學課堂充滿生命活力。

　　總之，雖然新課程下關於數學教師教學反思的研究，目前還是個新課題，許多的反思問題都還需要我們進一步深入探索，但是在教學中及時的反思對於我們的成長是很有必要的，也是我們實現自我發展的有效途徑，只有在實踐中不斷反思，才能使我們及時地發現問題，冷靜地分析與解決問題，認識到理念與實踐的差距，從而才能不斷改進教學，更好地引導學生“學”;在反思中實踐時，我們找到理念和行為之間的差距，從而才能使新的教育理念，內化為個人的教學行為，對於成長為新時期專業人才、複合人才，促進教師的專業發展很有裨益。

　　：初中數學課改故事

　　在學生眼中，數學是一門乏味，枯燥的學科，如何能讓學生喜歡數學，能讓我們的數學課堂充滿生命力，讓課堂高效，讓學生們享受著學習數學的快樂，作為教師我們都思考過、嘗試過。經過近幾年的探索，我發現在我的課堂上有一個小助手，那就是小組合作，下面我就介紹一下我的數學課堂中的小組合作，與大家共勉。

　　一、小組的分配方式：

　　在數學課堂教學中，開展小組合作學習，要根據學生的學習水平、性別、智力、性格的差別進行分組，為此，我對小組成員有以下搭配：

　　均衡搭配：

　　我認為對於七年級到八年級的學生來說，就是優差生搭配，這樣優勢互補，取長補短，每個小組的學習水平相對平衡，教師容易把握，在各個小組中，學習能力強的優等生得到了充分的發展，而學習能力較差的學生，給予他自信和促進，可以將它們的被動學習變為主動，增強了他們互幫互助的精神，改變了學生自私自利的風氣，增強了小組的團隊合作能力。我現在的教學是七年級數學的教學，我認為對於七年級來說均衡搭配無論是課堂上還是課下都很有效，我將小組分成6人一小組，全班共分九個組，課上效果很好。

　　二、小組合作的小案例：

　　案例一：

　　比如在講《相交線》那節課中，它有四個課時，分別是相交線、垂線、點到直線的距離以及同位角、內錯角、同旁內角，通過給學生時間自己看書總結課程中的知識點，學生很認真的找出。九個學習小組，每小組內推出一位發言人，在課堂上進行展示，這幾個題目讓學生很感興趣，他們表現出了極大的熱情。有的上網收集“相交線”的資料，有的把生活中的照片拿來，都是關於相交線、垂線、點到直線的距離以及同位角、內錯角、同旁內角的相關的相交線知識。在這期間，我並不是對此不聞不問，撒手不管。我會很關注學生的進展情況，發現問題及時幫助他們解決，我發現學生很主動積極。

　　案例二：

　　我在講《多邊形內角和》這節時，我最大限度的去調動學生的積極性，讓小組合作共同完成，來得到我們要的結論，在我放手，大膽讓學生自己得出結論的時候，我還要適當的去引導，例如：同學們都知道三角形內角和是180°，學生們就利用這一性質來推導四邊形內角和是多少度?五邊形內角和多少度?

　　學生1：在黑板上展現他們組的成果如圖： 學生2：講解前兩個圖是如何得出四邊形內角和是360°的。

　　學生3;講解後兩個圖是怎麼得出四邊形內角和是360°的。

　　學生4：領著同學們分析五邊形內角和是多少?黑板有圖示

　　學生5：帶領全班同學總結多邊形內角和公式=n-2180°

　　學生6：做相關的記錄與整理。

　　以上就是學生們想出來的方法，依照他們總結得出的方法，這節課上的很順利，學生在小組合作互相幫助的氛圍下很快的得出了多邊形外角和公式：多邊形外角和是360°，所以說學生的思維想象是不可估量的，通過同一題目的多種不同解法，引導學生從不同的角度，不同的方位，不同的觀點來分析思考同一問題，既鍛鍊了學生的思維，又使數學課堂變得生機勃勃，能最大限度的調動學生的積極性。

　　小組合作學習是學生在新課改的學習環境下的重要學習方式.有效的合作學習，能夠激發學生的潛能，啟用封存的記憶。每一個學生都在“動”：動腦想、動嘴說、動手整理。他們快樂地討論，快樂地記錄著他們合作學習的果實。在小組合作的過程中，同學們學會傾聽，不隨便打斷別人的發言，對別人的發言要能做出評價;學會質疑，聽不懂時，請求對方進一步解釋;學會表達，有序組織語言，表達過程有條理，理由充分;學會組織，主持小組學習，能根據他人的觀點進行歸納概括，做總結性發言;學會分工與合作，從而有效發揮合作學習的功能。小組合作大大減輕了教師的負擔，如“對桌學習”和“組內學習”實質都是學生幫助老師完成分層次教學的重要過程，同學們通過“兵教兵”、“ 兵練兵”的合作學習，學習自覺性得到了很大的提高，形成了互相幫助，互相競爭，互相評價的良好學習氛圍。我想，在這種氛圍下，學生的變化是把“要我學”變為“我要學” “痛苦學”變為“快樂學”的學習模式，大大激發了學生可持續學習的熱情，從而學習成績穩步提高。小組合作學習的效果遠比老師直接灌輸給學生知識要好得多。

　　然而，小組合作中也遇到了一些問題，讓學生坐在一起，並不代表他們能夠進行真正的合作學習。在合作中，除了知識方面的內容外，更多的是人際關係的，行為規範等等的方面，如果教學中沒有意識到這一點，那麼課堂上吵吵鬧鬧，一堂課下來，學生什麼也沒有得到。使學生明確合作的規範，就要求老師在課堂上要把握一個“度”。我們應該參與到學生的小組合作中，適當的引導、點撥學生，少而精的講解和示範，使學生從中發現問題、探究解決問題，激發學生自主學習，把時間和空間留給學生自主學練、相互交流，留給學生評議思考問題的空間，讓學生在有一定難度的問題上展開合作、交流，促進學生更加全面地理解掌握基礎知識，掌握基本技術和技能。

　　小組合作學習不僅是一種組織形式，也是一種學習方式，更是一種新的學習理念，需要我們在實踐中不斷研究不斷髮展。在我的數學課堂上，小組合作使我從策劃者、組織者轉變為調控者，引導者再到合作者、學習者，將我與學生真正的形成了“學習共同體”，使課堂效率更高，以上就是我在近幾年課堂教學改革中的一點點感悟，有說的不當的地方還請大家指教。

　　：初中數學解題方法總結

　　一、選擇題的解法

　　1、直接法：根據選擇題的題設條件，通過計算、推理或判斷，，最後得到題目的所求。

　　2、特殊值法：特殊值淘汰法有些選擇題所涉及的數學命題與字母的取值範圍有關，在解這類選擇題時，可以考慮從取值範圍內選取某幾個特殊值，代入原命題進行驗證，然後淘汰錯誤的，保留正確的。

　　3、淘汰法：把題目所給的四個結論逐一代回原題的題幹中進行驗證，把錯誤的淘汰掉，直至找到正確的答案。

　　4、逐步淘汰法：如果我們在計算或推導的過程中不是一步到位，而是逐步進行，既採用“走一走、瞧一瞧”的策略，每走一步都與四個結論比較一次，淘汰掉不可能的，這樣也許走不到最後一步，三個錯誤的結論就被全部淘汰掉了。

　　5、數形結合法：根據數學問題的條件和結論之間的內在聯絡，既分析其代數含義，又揭示其幾何意義，使數量關係和圖形巧妙和諧地結合起來，並充分利用這種結合，尋求解題思路，使問題得到解決。

　　二、常用的數學思想方法

　　1、數形結合思想：就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯絡，既分析其代數含義，又揭示其幾何意義，使數量關係和圖形巧妙和諧地結合起來，並充分利用這種結合，尋求解體思路，使問題得到解決。

　　2、聯絡與轉化的思想：事物之間是相互聯絡、相互制約的，是可以相互轉化的。數學學科的各部分之間也是相互聯絡，可以相互轉化的。在解題時，如果能恰當處理它們之間的相互轉化，往往可以化難為易，化繁為簡。如：代換轉化、已知與未知的轉化、特殊與一般的轉化、具體與抽象的轉化、部分與整體的轉化、動與靜的轉化等等。

　　3、分類討論的思想：在數學中，我們常常需要根據研究物件性質的差異，分各種不同情況予以考查，這種分類思考的方法，是一種重要的數學思想方法，同時也是一種重要的解題策略。

　　4、待定係數法：當我們所研究的數學式子具有某種特定形式時，要確定它，只要求出式子中待確定的字母得值就可以了。為此，把已知條件代入這個待定形式的式子中，往往會得到含待定字母的方程或方程組，然後解這個方程或方程組就使問題得到解決。

　　5、配方法：就是把一個代數式設法構造成平方式，然後再進行所需要的變化。配方法是初中代數中重要的變形技巧，配方法在分解因式、解方程、討論二次函式等問題，都有重要的作用。

　　6、換元法：在解題過程中，把某個或某些字母的式子作為一個整體，用一個新的字母表示，以便進一步解決問題的一種方法。換元法可以把一個較為複雜的式子化簡，把問題歸結為比原來更為基本的問題，從而達到化繁為簡，化難為易的目的。

　　7、分析法：在研究或證明一個命題時，又結論向已知條件追溯，既從結論開始，推求它成立的充分條件，這個條件的成立還不顯然，則再把它當作結論，進一步研究它成立的充分條件，直至達到已知條件為止，從而使命題得到證明。這種思維過程通常稱為“執果尋因”

　　8、綜合法：在研究或證明命題時，如果推理的方向是從已知條件開始，逐步推導得到結論，這種思維過程通常稱為“由因導果”

　　9、演繹法：由一般到特殊的推理方法。

　　10、歸納法：由一般到特殊的推理方法。

　　11、類比法：眾多客觀事物中，存在著一些相互之間有相似屬性的事物，在兩個或兩類事物之間，根據它們的某些屬性相同或相似，推出它們在其他屬性方面也可能相同或相似的推理方法。類比法既可能是特殊到特殊，也可能一般到一般的推理。

　　三、函式、方程、不等式

　　常用的數學思想方法：⑴數形結合的思想方法。⑵待定係數法。⑶配方法。⑷聯絡與轉化的思想。⑸影象的平移變換。

　　四、證明角的相等

　　1、對頂角相等。

　　2、角或同角的補角相等或餘角相等。

　　3、兩直線平行，同位角相等、內錯角相等。

　　4、凡直角都相等。

　　5、角平分線分得的兩個角相等。

　　6、同一個三角形中，等邊對等角。

　　7、等腰三角形中，底邊上的高或中線平分頂角。

　　8、平行四邊形的對角相等。

　　9、菱形的每一條對角線平分一組對角。

　　10、 等腰梯形同一底上的兩個角相等。

　　11、 關係定理：同圓或等圓中，若有兩條弧或弦、或弦心距相等，則它們所 對的圓心角相等。

　　12、 圓內接四邊形的任何一個外角都等於它的內對角。

　　13、 同弧或等弧所對的圓周角相等。

　　14、 弦切角等於它所夾的弧對的圓周角。

　　15、 同圓或等圓中，如果兩個弦切角所夾的弧相等，那麼這兩個弦切角也相等。

　　16、 全等三角形的對應角相等。

　　17、 相似三角形的對應角相等。

　　18、 利用等量代換。

　　19、 利用代數或三角計算出角的度數相等

　　20、 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，並且這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

　　五、證明直線的平行或垂直

　　1、證明兩條直線平行的主要依據和方法：

　　⑴、定義、在同一平面內不相交的兩條直線平行。

　　⑵、平行定理、兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行。

　　⑶、平行線的判定：同位角相等內錯角或同旁內角，兩直線平行。

　　⑷、平行四邊形的對邊平行。

　　⑸、梯形的兩底平行。

　　⑹、三角形或梯形的中位線平行與第三邊或兩底

　　⑺、一條直線截三角形的兩邊或兩邊的延長線所得的對應線段成比例，則這條直線平行於三角形的第三邊。

　　2、證明兩條直線垂直的主要依據和方法：

　　⑴、兩條直線相交所成的四個角中，由一個是直角時，這兩條直線互相垂直。

　　⑵、直角三角形的兩直角邊互相垂直。

　　⑶、三角形的兩個銳角互餘，則第三個內角為直角。

　　⑷、三角形一邊的中線等於這邊的一半，則這個三角形為直角三角形。

　　⑸、三角形一邊的平方等於其他兩邊的平方和，則這邊所對的內角為直角。

　　⑹、三角形或多邊形一邊上的高垂直於這邊。

　　⑺、等腰三角形的頂角平分線或底邊上的中線垂直於底邊。

　　⑻、矩形的兩臨邊互相垂直。

　　⑼、菱形的對角線互相垂直。

　　⑽、平分弦非直徑的直徑垂直於這條弦，或平分弦所對的弧的直徑垂直於這條弦。

　　⑾、半圓或直徑所對的圓周角是直角。

　　⑿、圓的切線垂直於過切點的半徑。

　　⒀、相交兩圓的連心線垂直於兩圓的公共弦。

　　六、證明線段的比例式或等積式的主要依據和方法：

　　1、比例線段的定義。

　　2、平行線分線段成比例定理及推論。

　　3、平行於三角形的一邊，並且和其他兩邊或兩邊的延長線相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。

　　4、過分點作平行線;

　　5、相似三角形的對應高成比例，對應中線的比和對應角平分線的比都等於相似比。

　　6、相似三角形的周長的比等於相似比。

　　7、相似三角形的面積的比等於相似比的平方。

　　8、相似三角形的對應邊成比例。

　　9、通過比例的性質推導。

　　10、用代數、三角方法進行計算。

　　11、藉助等比或等線段代換。

　　七、幾何作圖

　　1、掌握最基本的五種尺規作圖

　　⑴、作一條線段等於已知線段。

　　⑵、作一個角等於已知角。

　　⑶、平分已知角。

　　⑷、經過一點作已知直線的垂線。

　　⑸、作線段的垂直平分線。

　　2、掌握課本中各章要求的作圖題

　　⑴、根據條件作任意的三角形、等要素那角性、直角三角形。

　　⑵、根據給出條件作一般四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等。

　　⑶、作已知圖形關於一點、一條直線對稱的圖形。

　　⑷、會作三角形的外接圓、內?a href='//' target='_blank'>性病?/p>

　　⑸、平分已知弧。

　　⑹、作兩條線段的比例中項。

　　⑺、作正三角形、正四邊形、正六邊形等。

　　八、幾何計算

　　一、角度與弧度的計算

　　1、三角形和四邊形的角的計算主要依據

　　⑴、三角形的內角和定理及推論。

　　⑵、四邊形的內角和定理及推論。

　　⑶、圓內接四邊形性質定理。

　　2、弧和相關的角的計算主要依據

　　⑴、圓心角的度數等於它所對的弧的度數。

　　⑵、圓周角的度數等於它所對的弧的度數的一半。

　　⑶、弦切角的度數等於所夾弧度數的一半。

　　3、多邊形的角的計算主要依據

　　⑴、n邊形的內角和=n-2*180°

　　⑵、正n邊形的每一內角=n-2*180°÷n

　　⑶、正n邊形的任一外角等於各邊所對的中心角且都等於

　　二、長度的計算

　　1、 三角形、平行四邊形和梯形的計算

　　用到的定理主要有三角形全等定理，中位線定理，等腰三角形、直角三角形、正三角形及各種平行四邊形的性質等定理。關於梯形中線段計算主要依據梯形中位線定理及等腰梯形、直角梯形的性質定理等。

　　2、 有關圓的線段計算的主要依據

　　⑴、切線長定理

　　⑵、圓切線的性質定理。

　　⑶、垂徑定理。

　　⑷、圓外切四邊形兩組對邊的和相等。

　　⑸、兩圓外切時圓心距等於兩圓半徑之和，兩圓內切時圓心距等於兩半徑之差。

　　3、 直角三角形邊的計算

　　直角三角形邊長的計算應用最廣，其理論依據主要是勾股定理和特殊角三角形的性質及銳角三角函式等。

　　4、 成比例線段長度的求法

　　⑴、平行線分線段成比例定理;

　　⑵、相似形對應線段的比等於相似比;

　　⑶、射影定理;

　　⑷、相交弦定理及推論，切割線定理及推論;

　　⑸、正多邊形的邊和其他線段計算轉化為特殊三角形。

　　三、圖形面積的計算

　　1、 四邊形的面積公式

　　⑴、S□ABCD = a·h

　　⑵、S菱形 = 1/2a·b a、b為對角線

　　⑶、S梯形 = 1/2a + b·h = m·h m為中位線

　　2、 三角形的面積公式

　　⑴、S△ = 1/2· a·h

　　⑵、S△ = 1/2· P·rP為三角形周長，r為三角形內切圓的半徑

　　3、 S正多邊形 = 1/2· P n·r n = 1/2·n a n·r n

　　4、 S圓 =πR2

　　5、S扇形 = nπ= 1/2LR

　　6、S弓形 = S扇 - S△

　　九、證明兩線段相等的方法：

　　⑴、利用全等三角形對應線段相等;

　　⑵、利用等腰三角形性質;

　　⑶、利用同一個三角形中等角對等邊;

　　⑷、利用線段垂直平分線;

　　⑸、角平分線的性質;

　　⑹、利用軸對稱的性質;

　　⑺、平行線等分線段定理;

　　⑻、平行四邊形性質;

　　⑼、垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分這條弦所對的兩條弧。推論1：平分一條弦所對的弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧。

　　⑽、圓心角、弧、弦、弦心距的關係定理及推論;

　　⑾、切線長定理。

　　十、證明弧相等的方法：

　　⑴、定義;同圓或等圓中，能夠完全重合的兩段弧。

　　⑵、垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分這條弦所對的兩條弧。

　　推論1：①平分弦不是直徑的直徑垂直弦，並且平分弦所對的兩條弧。

　　②垂直平分一條弦的直線，經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧。

　　③平分一條弦所對的弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧。

　　推論2：兩條平行弦所夾的弧相等

　　⑶、圓心角、弧、圓周角之間度數關係;圓心角 = 弧 = 2圓周角

　　⑷、圓周角定理的推論1;同弧或等弧所對的圓周角相等，同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等

　　十一、切線小結

　　1、證明切線的三種方法：

　　⑴、定義——一個交點;

　　⑵、d=r;若一條直線到圓心的距離等於半徑，則這條直線是圓的切線

　　⑶、切線的判定定理;經過半徑外端，並且垂直這條半徑的直線是圓的切線

　　2、切線的八個性質：

　　⑴、定義：唯一交點;

　　⑵、切線和圓心的距離等於半徑; d=r

　　⑶、切線的性質定理：圓的切線垂直於過切點的半徑;

　　⑷、推論1：過圓心且垂直於切線的直線必過切點;

　　⑸、推論2：過切點且垂直於切線的直線必過圓心;

　　⑹、切線長相等;過圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，並且這一點和圓心的連線平分兩切線的夾角。

　　⑺、連結兩平行切線切點間的線段為直徑

　　⑻、經過直徑兩端點的切線互相平行。

　　3、證明切線的兩種型別：

　　⑴、已知直線和圓相交於一點

　　證明方法：連交點，證垂直

　　⑵、未知直線和圓是否相交於哪點或沒告訴交點

　　證明方法：做垂直，證半徑

　　十二、輔助線的作用與新增方法：

　　輔助線是溝通已知與未知的橋樑.現已學過的新增輔助線方法有：

　　1、梯形的七類輔助線：

　　⑴、作梯形的高;

　　⑵、延長兩腰;

　　⑶、平移一腰;

　　⑷、平移對角線;

　　⑸、利用中點;

　　⑹、連結兩腰中點;

　　2、一般的輔助線

　　⑴、過兩定點作直線;

　　⑵、作三角形的高、中線、角平分線;

　　⑶、延長某一線段;

　　⑷、作一點關於已知直線的對稱點;

　　⑸、構造直角三角形;

　　⑹、作平行線;

　　⑺、作半徑;

　　⑻、弦心距;

　　⑼、構造直徑上的圓周角;

　　⑽、兩圓相交時常連公共弦;

　　⑾、構造相交弦;

　　⑿、見中點連中點構造中位線;

　　⒀、兩圓外切時作內公切線;

　　⒁、兩圓內切時作外公切線;

　　⒂、作輔助圖形如勾股定理逆定理的證明中作輔助三角形;