高一數學誘導公式彙總2
一般的最常用公式有:
Sin***A+B***=SinA*CosB+SinB*CosA
Sin***A-B***=SinA*CosB-SinB*CosA
Cos***A+B***=CosA*CosB-SinA*SinB
Cos***A-B***=CosA*CosB+SinA*SinB
Tan***A+B***=***TanA+TanB***/***1-TanA*TanB***
Tan***A-B***=***TanA-TanB***/***1+TanA*TanB***
平方關係:
sin^2***α***+cos^2***α***=1
tan^2***α***+1=sec^2***α***
cot^2***α***+1=csc^2***α***
·積的關係:
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·倒數關係:
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等於角A的對邊比斜邊,
餘弦等於角A的鄰邊比斜邊
正切等於對邊比鄰邊,
三角函式恆等變形公式
·兩角和與差的三角函式:
cos***α+β***=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos***α-β***=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin***α±β***=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan***α+β***=***tanα+tanβ***/***1-tanα·tanβ***
tan***α-β***=***tanα-tanβ***/***1+tanα·tanβ***
·輔助角公式:
Asinα+Bcosα=***A^2+B^2***^***1/2***sin***α+t***,其中
sint=B/***A^2+B^2***^***1/2***
cost=A/***A^2+B^2***^***1/2***
·倍角公式:
sin***2α***=2sinα·cosα=2/***tanα+cotα***
cos***2α***=cos^2***α***-sin^2***α***=2cos^2***α***-1=1-2sin^2***α***
tan***2α***=2tanα/[1-tan^2***α***]
·三倍角公式:
sin***3α***=3sinα-4sin^3***α***
cos***3α***=4cos^3***α***-3cosα
·半形公式:
sin***α/2***=±√******1-cosα***/2***
cos***α/2***=±√******1+cosα***/2***
tan***α/2***=±√******1-cosα***/***1+cosα******=sinα/***1+cosα***=***1-cosα***/sinα
·降冪公式
sin^2***α***=***1-cos***2α******/2=versin***2α***/2
cos^2***α***=***1+cos***2α******/2=vercos***2α***/2
tan^2***α***=***1-cos***2α******/***1+cos***2α******
·萬能公式:
sinα=2tan***α/2***/[1+tan^2***α/2***]
cosα=[1-tan^2***α/2***]/[1+tan^2***α/2***]
tanα=2tan***α/2***/[1-tan^2***α/2***]
·積化和差公式:
sinα·cosβ=***1/2***[sin***α+β***+sin***α-β***]
cosα·sinβ=***1/2***[sin***α+β***-sin***α-β***]
cosα·cosβ=***1/2***[cos***α+β***+cos***α-β***]
sinα·sinβ=-***1/2***[cos***α+β***-cos***α-β***]
·和差化積公式:
sinα+sinβ=2sin[***α+β***/2]cos[***α-β***/2]
sinα-sinβ=2cos[***α+β***/2]sin[***α-β***/2]
cosα+cosβ=2cos[***α+β***/2]cos[***α-β***/2]
cosα-cosβ=-2sin[***α+β***/2]sin[***α-β***/2]
·其他:
sinα+sin***α+2π/n***+sin***α+2π*2/n***+sin***α+2π*3/n***+……+sin[α+2π****n-1***/n]=0
cosα+cos***α+2π/n***+cos***α+2π*2/n***+cos***α+2π*3/n***+……+cos[α+2π****n-1***/n]=0以及
sin^2***α***+sin^2***α-2π/3***+sin^2***α+2π/3***=3/2
tanAtanBtan***A+B***+tanA+tanB-tan***A+B***=0
部分高等內容
·高等代數中三角函式的指數表示***由泰勒級數易得***:
sinx=[e^***ix***-e^***-ix***]/***2i***
cosx=[e^***ix***+e^***-ix***]/2
tanx=[e^***ix***-e^***-ix***]/[ie^***ix***+ie^***-ix***]
泰勒展開有無窮級數,e^z=exp***z***=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…
此時三角函式定義域已推廣至整個複數集。
·三角函式作為微分方程的解:
對於微分方程組y=-y'';y=y'''',有通解Q,可證明
Q=Asinx+Bcosx,因此也可以從此出發定義三角函式。
補充:由相應的指數表示我們可以定義一種類似的函式——雙曲函式,其擁有很多與三角函式的類似的性質,二者相映成趣。
特殊三角函式值
a0`30`45`60`90`
sina01/2√2/2√3/21
cosa1√3/2√2/21/20
tana0√3/31√3None
cotaNone√31√3/30
三角函式的計算
冪級數
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn***n=0..∞***
c0+c1***x-a***+c2***x-a***2+...+cn***x-a***n+...=∑cn***x-a***n***n=0..∞***
它們的各項都是正整數冪的冪函式,其中c0,c1,c2,.....及a都是常數,這種級數稱為冪級數.
泰勒展開式***冪級數展開法***:
f***x***=f***a***+f'***a***/1!****x-a***+f''***a***/2!****x-a***2+...f***n******a***/n!****x-a***n+...
實用冪級數:
ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...
ln***1+x***=x-x2/3+x3/3-...***-1***k-1*xk/k+...***|x|<1***
sinx=x-x3/3!+x5/5!-...***-1***k-1*x2k-1/***2k-1***!+...***-∞
cosx=1-x2/2!+x4/4!-...***-1***k*x2k/***2k***!+...***-∞
arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/***2*4****x5/5+...***|x|<1***
arccosx=π-***x+1/2*x3/3+1*3/***2*4****x5/5+...******|x|<1***
arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...***x≤1***
sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...***-1***k-1*x2k-1/***2k-1***!+...***-∞
coshx=1+x2/2!+x4/4!+...***-1***k*x2k/***2k***!+...***-∞
arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/***2*4****x5/5-...***|x|<1***
arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...***|x|<1***
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