高一數學誘導公式彙總2

General 更新 2024年11月22日

  一般的最常用公式有:

  Sin***A+B***=SinA*CosB+SinB*CosA

  Sin***A-B***=SinA*CosB-SinB*CosA

  Cos***A+B***=CosA*CosB-SinA*SinB

  Cos***A-B***=CosA*CosB+SinA*SinB

  Tan***A+B***=***TanA+TanB***/***1-TanA*TanB***

  Tan***A-B***=***TanA-TanB***/***1+TanA*TanB***

  平方關係:

  sin^2***α***+cos^2***α***=1

  tan^2***α***+1=sec^2***α***

  cot^2***α***+1=csc^2***α***

  ·積的關係:

  sinα=tanα*cosα

  cosα=cotα*sinα

  tanα=sinα*secα

  cotα=cosα*cscα

  secα=tanα*cscα

  cscα=secα*cotα

  ·倒數關係:

  tanα·cotα=1

  sinα·cscα=1

  cosα·secα=1

  直角三角形ABC中,

  角A的正弦值就等於角A的對邊比斜邊,

  餘弦等於角A的鄰邊比斜邊

  正切等於對邊比鄰邊,

  三角函式恆等變形公式

  ·兩角和與差的三角函式:

  cos***α+β***=cosα·cosβ-sinα·sinβ

  cos***α-β***=cosα·cosβ+sinα·sinβ

  sin***α±β***=sinα·cosβ±cosα·sinβ

  tan***α+β***=***tanα+tanβ***/***1-tanα·tanβ***

  tan***α-β***=***tanα-tanβ***/***1+tanα·tanβ***

  ·輔助角公式:

  Asinα+Bcosα=***A^2+B^2***^***1/2***sin***α+t***,其中

  sint=B/***A^2+B^2***^***1/2***

  cost=A/***A^2+B^2***^***1/2***

  ·倍角公式:

  sin***2α***=2sinα·cosα=2/***tanα+cotα***

  cos***2α***=cos^2***α***-sin^2***α***=2cos^2***α***-1=1-2sin^2***α***

  tan***2α***=2tanα/[1-tan^2***α***]

  ·三倍角公式:

  sin***3α***=3sinα-4sin^3***α***

  cos***3α***=4cos^3***α***-3cosα

  ·半形公式:

  sin***α/2***=±√******1-cosα***/2***

  cos***α/2***=±√******1+cosα***/2***

  tan***α/2***=±√******1-cosα***/***1+cosα******=sinα/***1+cosα***=***1-cosα***/sinα

  ·降冪公式

  sin^2***α***=***1-cos***2α******/2=versin***2α***/2

  cos^2***α***=***1+cos***2α******/2=vercos***2α***/2

  tan^2***α***=***1-cos***2α******/***1+cos***2α******

  ·萬能公式:

  sinα=2tan***α/2***/[1+tan^2***α/2***]

  cosα=[1-tan^2***α/2***]/[1+tan^2***α/2***]

  tanα=2tan***α/2***/[1-tan^2***α/2***]

  ·積化和差公式:

  sinα·cosβ=***1/2***[sin***α+β***+sin***α-β***]

  cosα·sinβ=***1/2***[sin***α+β***-sin***α-β***]

  cosα·cosβ=***1/2***[cos***α+β***+cos***α-β***]

  sinα·sinβ=-***1/2***[cos***α+β***-cos***α-β***]

  ·和差化積公式:

  sinα+sinβ=2sin[***α+β***/2]cos[***α-β***/2]

  sinα-sinβ=2cos[***α+β***/2]sin[***α-β***/2]

  cosα+cosβ=2cos[***α+β***/2]cos[***α-β***/2]

  cosα-cosβ=-2sin[***α+β***/2]sin[***α-β***/2]

  ·其他:

  sinα+sin***α+2π/n***+sin***α+2π*2/n***+sin***α+2π*3/n***+……+sin[α+2π****n-1***/n]=0

  cosα+cos***α+2π/n***+cos***α+2π*2/n***+cos***α+2π*3/n***+……+cos[α+2π****n-1***/n]=0以及

  sin^2***α***+sin^2***α-2π/3***+sin^2***α+2π/3***=3/2

  tanAtanBtan***A+B***+tanA+tanB-tan***A+B***=0

  部分高等內容

  ·高等代數中三角函式的指數表示***由泰勒級數易得***:

  sinx=[e^***ix***-e^***-ix***]/***2i***

  cosx=[e^***ix***+e^***-ix***]/2

  tanx=[e^***ix***-e^***-ix***]/[ie^***ix***+ie^***-ix***]

  泰勒展開有無窮級數,e^z=exp***z***=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…

  此時三角函式定義域已推廣至整個複數集。

  ·三角函式作為微分方程的解:

  對於微分方程組y=-y'';y=y'''',有通解Q,可證明

  Q=Asinx+Bcosx,因此也可以從此出發定義三角函式。

  補充:由相應的指數表示我們可以定義一種類似的函式——雙曲函式,其擁有很多與三角函式的類似的性質,二者相映成趣。

  特殊三角函式值

  a0`30`45`60`90`

  sina01/2√2/2√3/21

  cosa1√3/2√2/21/20

  tana0√3/31√3None

  cotaNone√31√3/30

  三角函式的計算

  冪級數

  c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn***n=0..∞***

  c0+c1***x-a***+c2***x-a***2+...+cn***x-a***n+...=∑cn***x-a***n***n=0..∞***

  它們的各項都是正整數冪的冪函式,其中c0,c1,c2,.....及a都是常數,這種級數稱為冪級數.

  泰勒展開式***冪級數展開法***:

  f***x***=f***a***+f'***a***/1!****x-a***+f''***a***/2!****x-a***2+...f***n******a***/n!****x-a***n+...

  實用冪級數:

  ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...

  ln***1+x***=x-x2/3+x3/3-...***-1***k-1*xk/k+...***|x|<1***

  sinx=x-x3/3!+x5/5!-...***-1***k-1*x2k-1/***2k-1***!+...***-∞

  cosx=1-x2/2!+x4/4!-...***-1***k*x2k/***2k***!+...***-∞

  arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/***2*4****x5/5+...***|x|<1***

  arccosx=π-***x+1/2*x3/3+1*3/***2*4****x5/5+...******|x|<1***

  arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...***x≤1***

  sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...***-1***k-1*x2k-1/***2k-1***!+...***-∞

  coshx=1+x2/2!+x4/4!+...***-1***k*x2k/***2k***!+...***-∞

  arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/***2*4****x5/5-...***|x|<1***

  arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...***|x|<1***

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