高中數學必修五不等式與不等式組知識點

　　高中數學不等式是學習的重要內容，那麼相關知識點有哪些呢?下面是小編給大家帶來的，希望對你有幫助。

　　一

　　1.一元一次不等式的解法

　　任何一個一元一次不等式經過變形後都可以化為ax>b或axb而言，當a>0時，其解集為ab，+∞，當a<0時，其解集為-∞，ba，當a=0時，b<0時，期解集為R，當a=0，b≥0時，其解集為空集。

　　例1：解關於x的不等式ax-2>b+2x

　　解：原不等式化為a-2x>b+2

　　①當a>2時，其解集為b+2a-2，+∞

　　②當a<2時，其解集為-∞，b+2a-2

　　③當a=2，b≥-2時，其解集為φ

　　④當a=2且b<-2時，其解集為R.

　　2.一元二次不等式的解法

　　任何一個一元二次不等式都可化為ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0a>0的形式，然後用判別式法來判斷解集的各種情形空集，全體實數，部分實數，如果是空集或實數集，那麼不等式已經解出，如果是部分實數，則根據“大於號取兩根之外，小於號取兩根中間”分別寫出解集就可以了。

　　例2：解不等式ax2+4x+4>0a>0

　　解：△=16-16a

　　①當a>1時，△<0，其解集為R

　　②當a=1時，△=0，則x≠-2，故其解集-∞，-2∪-2，+∞

　　③當a<1時，△>0，其解集-∞，-2-21-aa∪-2+21-aa，+∞

　　3.不等式組的解法

　　將不等式中每個不等式求得解集，然後求交集即可.

　　例3：解不等式組m2+4m-5>01

　　m 2+4m-12<02

　　解：由①得m<-5或m>1

　　由②得-6，故原不等式組的解集為-6，-5∪1，2

　　二

　　分式不等式的解法

　　任何一個分式不等都可化為fxgx>0≥0或fxgx<0≤0的形式，然後討論分子分母的符號，得兩個不等式組，求得這兩個不等式組的解集的並集便是原不等式的解集.

　　例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2

　　解：原不等式化為：3x2-x-4-x2-1>0

　　它等價於I3x2-x-4>0-x2-1>0和II3x2-x-4<0-x2-1<0

　　解I得解集空集，解II得解集-1，43.

　　故原不等式的解集為-1，43.

　　含有絕對值不等式的解法

　　去絕對值號的主要依據是：根據絕對值的定義或性質，先將含有絕對值的不等式中的絕對值號去掉，化為不含絕對值的不等式，然後求出其解集即可。

　　1|x|>aa>0?x>a或x<-a.

　　2|x|0?-a解：原不等式等價於3xx2-4≥1，①或3xx2-4≤-1②

　　解①得2 解②得-4≤x<-2或1≤x<2

　　故原不等式的解集為[-4，-2∪-2，-1]∪[1，2∪2，4].

　　例6：解不等式|x2-3x+2|>x2-1

　　解：原不等式等價於x2-3x+2>x2-1①或x2-3x+2<-x2+1②

　　解①得{x|x<1}，解②得{x|12gx和|fx|a和|x| 例7：解不等式|x+1|+|x|<2

　　解：①當x≤-1時，原不等式變為-x-1-x<2 ∴-32 ②當-1 ∴-1 ③當x>0時，原不等式變為x+1+x<2.

　　∴解得0 綜合①，②，③知，原不等式的解集為{x|-32 例8：解不等式|x2-3x+2|+|x2-4x+3|>2

　　解：①當x≤1時，原不等式變為x2-3x+2+x2-4x+3>2，此時解集為{x|x<12}.

　　②當12，此時解集為空集。

　　③當22，此時的解集是空集。

　　④當x>3時，原不等式化為x2-3x+2+x2-4x+3>2，此時的解集為{x|x>3}.

　　綜合①②③④可知原不等式的解集為{x|x≤12}∪{x|x>3}.從以上兩個例子可以看出，解含有兩個或兩個以上的絕對值的不等式，一般是先找出一些關鍵數如例7的關鍵數是-1，0;例8中的關鍵數是1，2，3這些關鍵數將實數劃分為幾個區間，在這些區間上，可以根據絕對值的意義去掉絕對值號，從而轉化為不含絕對值的不等式，應當注意的是，在解這些不等式時，應該求出交集，最後綜合各區間的解集寫出答案。

　　無理不等式的解法

　　無理不等式fx>gx的解集為不等式組Ifx≥[gx] 2fx≥0gx≥0和IIfx≥0gx<0的解集的並集.

　　無理不等式fx0的解集為不等式組fx≥0fx<[gx] 2gx>0的解集.

　　例9：解不等式：2x+5-x-1>0

　　解：原不等式化為：2x+5>x+1 由此得不等式組I2x+5≥0x+1<0或II2x+5≥0x+1≥02x+5>x+12

　　解I得-52≤x<-1，解II得-1≤x<2

　　故原不等式的解集為[-52，2].

　　指數不等式的解法

　　根據指數函式的單調性來解不等式。

　　例10.解不等式：9x>3x+2

　　解：原不等式化為 3 2x>3x+22

　　∴2x>x+22即x>23

　　故原不等式解集為23 ，+∞.

　　三

　　對數不等式的解法

　　根據對數函式的單調性來解不等式。

　　例11：解不等式：log12x+12-x>0

　　解：原不等式化為log12x+12-x>log121

　　∴ x+12-x>0 1x+12-x<1 2

　　解①得-1 解②得x<1-52 或x>1+52

　　故原不等式解集-1，1-52∪1+52，2.

　　簡單高次不等式的解法

　　簡單高次不等式可以利用數軸標根法來解不等式.

　　例12：解不等式x+1x 2-5x+4<0

　　解：原不等式化為：x+1x-1x-4<0

　　如圖，由數軸標根法可得原不等式解集為-∞，-1∪1，4

　　三角不等式的解法

　　根據三角函式的單調性，先求出在同一週期內的解集，然後寫出通值。

　　例13：解不等式：sinx≤-12

　　解：sinx≤-12在[0，2π]內的解是：76 π≤x≤116π

　　故原不等式的解集為[2kπ+76 ，2kπ+116 ]k∈z。

　　含有字母系數不等式的解法

　　在解不等式過程中，還常常遇到含有字母系數的一些不等式，此時，一定要注意字母系數進行討論，以保證解題的完備性。

　　例14：解不等式2 3x-2x 解：原不等式變形為2 2x2 2x-1 ∴2 2x-1 2 2x-a<0

　　∴原不等式等價於2 2x-1>02 2x-a<0 或2 2x-1<02 2x-a>0

　　①當a≤0時，x<0;

　　②當0 ③當a=1時，無解

　　④當a>1時，0 解不等式的基礎是解一元一次不等式，解一元二次不等式，解由一元一次不等式和一元二次不等式組成的不等式組。解其它各式各樣的不等式三角不等式除外關鍵在於根據有關的定義，定理，性質轉化這些不等式為上述三類不等式。在具體轉化的過程中，特別應該注意每一步都應是同解變形。像無理不等式中的開偶次方時的被開方數及對數不等式中的真數等，在去根號和去對數符號時，一定要使被開方數非負，真數大於零。

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