對數函式的定義域怎麼求

　　對數函式,特別是對數複合函式的定義域以及值域,由於它牽涉的知識點比較多,在中學數學教學中佔有相當重要的地位,?以下是小編為大家整理的關於對數函式的定義域的求法，歡迎大家前來閱讀!

　　對數函式的定義域的求法

　　試題分析

　　根據函式的定義為使函式的解析式有意義的自變數x取值範圍，我們可以構造關於自變數x的不等式，解不等式即可得到答案.

　　試題解析

　　***1***要使函式的解析式有意義，

　　自變數x須滿足：

　　2+x>02−x>0，可得-2

　　故函式f***x***=lg***2+x***+lg***2-x***的定義域為***-2，2***.

　　***2***∵不等式f***x***>m有解，∴m< p="">

　　令t=4-x2，∵-2< p="">

　　∵y=lgx，為增函式，

　　∴f***x***的最大值為lg4，

　　∴m的取值範圍為m

　　對數函式

　　6類基本初等函式之一。

　　對數的定義：一般地，如果ax=N***a>0，且a≠1***，那麼數x叫做以a為底N的對數，記作x=logaN，讀作以a為底N的對數，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。

　　一般地，函式y=logax***a>0，且a≠1***叫做對數函式，也就是說以冪***真數***為自變數，指數為因變數，底數為常量的函式，叫對數函式。

　　其中x是自變數，函式的定義域是***0，+∞***。它實際上就是指數函式的反函式，可表示為x=ay。因此指數函式裡對於a的規定，同樣適用於對數函式。

　　“log”是拉丁文logarithm***對數***的縮寫，讀作：[英][lɔɡ][美][lɔɡ, lɑɡ]。

　　對數函式定義性質

　　一般地，如果a***a大於0，且a不等於1***的b次冪等於N，那麼數b叫做以a為底N的對數，記作log***a******N***=b,其中a叫做對數的底數，N叫做真數。

　　底數則要大於0且不為1

　　對數的運算性質

　　當a>0且a≠1時,M>0,N>0，那麼：

　　***1***log***a******MN***=log***a******M***+log***a******N***;

　　***2***log***a******M/N***=log***a******M***-log***a******N***;

　　***3***log***a******M^n***=nlog***a******M*** ***n∈R***

　　***4***換底公式：log***A***M=log***b***M/log***b***A ***b>0且b≠1***

　　對數與指數之間的關係

　　當a>0且a≠1時,a^x=N x=㏒***a***N

　　常用簡略表達方式

　　***1***常用對數:lg***b***=log***10******b***

　　***2***自然對數:ln***b***=log***e******b***

　　***3*** log***a***+***b***=log***a******b***

　　e=2.718281828...　通常情況下只取e=2.71828　對數函式的定義

　　對數函式的一般形式為 y=㏒***a***x，它實際上就是指數函式的反函式***圖象關於直線y=x對稱的兩函式互為反函式***，可表示為x=a^y。因此指數函式裡對於a的規定***a>0且a≠1***，同樣適用於對數函式。

　　右圖給出對於不同大小a所表示的函式圖形：

　　可以看到對數函式的圖形只不過的指數函式的圖形的關於直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函式。

　　定義域：***0，+∞***值域：實數集R

　　定點：函式影象恆過定點***1，0***。

　　單調性：a>1時，在定義域上為單調增函式，並且上凸;

　　0減函式，並且下凹。<1時，在定義域上為單調

　　奇偶性：非奇非偶函式

　　週期性：不是周期函式

　　零點：x=1

　　對數函式的歷史

　　16世紀末至17世紀初的時候，當時在自然科學領域***特別是天文學***的發展上經常遇到大量精密而又龐大的數值計算，於是數學家們為了尋求化簡的計算方法而發明了對數。

　　德國的史提非***1487-1567***在1544年所著的《整數算術》中，寫出了兩個數列，左邊是等比數列***叫原數***，右邊是一個等差數列***叫原數的代表，或稱指數，德文是Exponent ，有代表之意***。

　　欲求左邊任兩數的積***商***，只要先求出其代表***指數***的和***差***，然後再把這個和***差***對向左邊的一個原數，則此原數即為所求之積***商***，可惜史提非並未作進一步探索，沒有引入對數的概念。

　　納皮爾對數值計算頗有研究。他所製造的「納皮爾算籌」，化簡了乘除法運算，其原理就是用加減來代替乘除法。 他發明對數的動機是為尋求球面三角計算的簡便方法，他依據一種非常獨等的與質點運動有關的設想構造出所謂對數方 法，其核心思想表現為算術數列與幾何數列之間的聯絡。在他的《奇妙的對數表的描述》中闡明瞭對數原理，後人稱為 納皮爾對數，記為Nap.㏒x，它與自然對數的關係為Nap.㏒x=107㏑***107/x***

　　由此可知，納皮爾對數既不是自然對數，也不是常用對數，與現今的對數有一定的距離。

　　瑞士的彪奇***1552-1632***也獨立地發現了對數，可能比納皮爾較早，但發表較遲***1620***。

　　英國的布里格斯在1624年創造了常用對數。

　　1619年，倫敦斯彼得所著的《新對數》使對數與自然對數更接近***以e=2.71828...為底***。

　　對數的發明為當時社會的發展起了重要的影響，正如科學家伽利略***1564-1642***說：「給我時間，空間和對數，我可以創造出一個宇宙」。又如十八世紀數學家拉普拉斯*** 1749-1827***亦提到：「對數用縮短計算的時間來使天文學家的壽命加倍」。

　　最早傳入我國的對數著作是《比例與對數》，它是由波蘭的穆尼斯***1611-1656***和我國的薛鳳祚在17世紀中葉合 編而成的。當時在lg2=0.3010中，2叫「真數」，0.3010叫做「假數」，真數與假數對列成表，故稱對數表。後來改用 「假數」為「對數」。

　　我國清代的數學家戴煦***1805-1860***發展了多種的求對數的捷法，著有《對數簡法》***1845***、《續對數簡法》***1846***等。1854年，英國的數學家艾約瑟***1825-1905*** 看到這些著作後，大為歎服。

　　當今中學數學教科書是先講「指數」，後以反函式形式引出「對數」的概念。但在歷史上，恰恰相反，對數概念不是來自指數，因為當時尚無分指數及無理指數的明確概念。布里格斯曾向納皮爾提出用冪指數表示對數的建議。1742年 ，J.威廉***1675-1749***在給G.威廉的《對數表》所寫的前言中作出指數可定義對數。而尤拉在他的名著《無窮小 分析尋論》***1748***中明確提出對數函式是指數函式的逆函式，和現在教科書中的提法一致。