探究二次函式在高中時的應用

　　在初中教材中，對二次函式作了較詳細的研究，由於初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解。進入高中以後，尤其是高三複習階段，要對他們的基本概念和基本性質***影象以及單調性、奇偶性、有界性***靈活應用，對二次函式還需再深入學習。

　　一、進一步深入理解函式概念

　　初中階段已經講述了函式的定義，進入高中後在學習集合的基礎上又學習了對映，接著重新學習函式概念，主要是用對映觀點來闡明函式，這時就可以用學生已經有一定了解的函式，特別是二次函式為例來加以更深認識函式的概念。二次函式是從一個集合A***定義域***到集合B***值域***上的對映ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c***a≠0***與集合A的元素X對應，記為ƒ***x***= ax2+ bx+c***a≠0***這裡ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函式的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函式值的記號後，可以讓學生進一步處理如下問題：

　　型別I：已知ƒ***x***= 2x2+x+2，求ƒ***x+1***

　　這裡不能把ƒ***x+1***理解為x=x+1時的函式值，只能理解為自變數為x+1的函式值。

　　型別Ⅱ：設ƒ***x+1***=x2-4x+1,求ƒ***x***

　　這個問題理解為，已知對應法則ƒ下，定義域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。

　　一般有兩種方法：

　　***1***把所給表示式表示成x+1的多項式。

　　ƒ***x+1***=x2-4x+1=***x+1***2-6***x+1***+6，再用x代x+1得ƒ***x***=x2-6x+6

　　***2*** 變數代換：它的適應性強，對一般函式都可適用。

　　令t=x+1，則x=t-1 ∴***t***=***t-1***2-4***t-1***+1=t2-6t+6從而ƒ***x***= x2-6x+6

　　二、二次函式的知識，可以準確反映學生的數學思維：

　　型別Ⅴ：設二次函式ƒ***x***=ax2+bx+c***a>0***方程ƒ***x***-x=0的兩個根x1，x2滿足0<x1<x2<1a。

　　***Ⅰ***當X∈***0,x1***時，證明X<ƒ***x***<x1。

　　***Ⅱ***設函式ƒ***x***的影象關於直線x=x0對稱，證明x0< x2。

　　解題思路：

　　本題要證明的是x<ƒ***x***，ƒ***x***<x1和x0< x2 ，由題中所提供的資訊可以聯想到：①ƒ***x***=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內有兩個不同的交點;②方程ƒ***x***-x=0可變為ax2+***b-1***x+1=0，它的兩根為x1,x2，可得到x1,x2與a.b.c之間的關係式，因此解題思路明顯有三條①影象法②利用一元二次方程根與係數關係③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導。現以思路②為例解決這道題：

　　***Ⅰ***先證明x<ƒ***x***，令ƒ***x***=ƒ***x***-x，因為x1,x2是方程ƒ***x***-x=0的根，ƒ***x***=ax2+bx+c，所以能ƒ***x***=a***x-x1******x-x2***

　　因為0<x1<x2,所以,當x∈***0,x1***時, x-x1<0, x-x2<0得***x-x1******x-x2***>0,又a>0,因此ƒ***x*** >0,即ƒ***x***-x>0.至此,證得x<ƒ***x***

　　根據韋達定理,有 x1x2=ca ∵ 0

　　即x<ƒ***x***<x1

　　***Ⅱ*** ∵ƒ***x***=ax2+bx+c=a***x+-b/2a***2+***c-***,***a>0***

　　函式ƒ***x***的影象的對稱軸為直線x=- b/2a,且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=-b/2a，因為x1,x2是二次方程ax2+***b-1***x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=-b-1a，∵x2-1a<0，

　　∴x0=-b2a=12***x1+x2-1a***<x2,即x0=x2。

　　三、二次函式的單調性，最值與影象。

　　在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函式y=ax2+bx+c在區間***-∞，-b2a]及[-b2a，+∞*** 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函式影象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用影象學習二次函式有關的一些函式單調性。

　　型別Ⅲ：畫出下列函式的影象，並通過影象研究其單調性。

　　***1***y=x2+2|x-1|-1

　　***2***y=|x2-1|

　　***3***= x2+2|x|-1

　　這裡要使學生注意這些函式與二次函式的差異和聯絡。掌握把含有絕對值記號的函式用分段函式去表示，然後畫出其影象。

　　型別Ⅳ設ƒ***x***=x2-2x-1在區間[t,t+1]上的最小值是g***t***。

　　求：g***t***並畫出 y=g***t***的影象

　　解：ƒ***x***=x2-2x-1=***x-1***2-2，在x=1時取最小值-2

　　當1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g***t***=-2

　　當t>1時，g***t***=ƒ***t***=t2-2t-1

　　當t<0時，g***t***=ƒ***t+1***=t2-2

　　t2-2, ***t<0***

　　g***t***= -2，***0≤t≤1***

　　t2-2t-1, ***t>1***

　　首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函式在實數集合R上或是隻有最小值或是隻有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。

　　如：y=3x2-5x+6***-3≤x≤-1***，求該函式的值域。

　　二次函式，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函式，可以以它為代表來研究函式的性質，可以建立起函式、方程、不等式之間的聯絡，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。

　　二次函式的內容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數學教學中也多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入。