幾個抽象函式問題的粗淺分析

      抽象函式是一種重要的數學概念．我們把沒有給出具體解析式，其一般形式為y=f***x***，且無法用數字和字母的函式稱為抽象函式．由於抽象函式的問題通常將函式的定義域、值域、單調性、奇偶性、週期性和影象集於一身．這類問題考查學生對數學符號語言的理解和接受能力、對一般和特殊關係的認識以及數學的綜合能力． 
　　解決抽象函式的問題要求學生基礎知識紮實、抽象思維能力、綜合應用數學能力較高．所以近幾年來高考題中不斷出現，在2009年的全國各地高考試題中，抽象函式遍地開花．但學生在解決這類問題時常常感到束手無策、力不從心．下面通過例題全面探討抽象函式主要考查的內容及其解法． 
        一、抽象函式的定義域 
        例1已知函式f***x***的定義域為[1,3]，求出函式g***x***=f***x+a***+f***x-a*** （a＞0）的定義域． 
　　解析：由由a＞0  知只有當0＜a＜1時，不等式組才有解，具體為{x|1+a＜x≤3-a；否則不等式組的解集為空集，這說明當且僅當0＜a＜1時，g***x***才能是x的函式，且其定義域為（1+a,3-a]．  
        點評：1.已知f***x***的定義域為[a,b]，則f[g***x***]的定義域由a≤g***x***≤b，解出x即可得解；    
        2.已知f[g***x***]的定義域為[a,b]，則f***x***的定義域即是g***x***在x [a,b]上的值域． 　        二、抽象函式的值域 
　　解決抽象函式的值域問題——由定義域與對應法則決定． 
        例2若函式y=f***x+1***的值域為[-1，1]求y=***3x+2***的值域． 
　　解析：因為函式y=f***3x+2***中的定義域與對應法則與函式y=f***x+1***的定義域與對應法則    完全相同，故函式y=f***3x+2***的值域也為[-1，1]． 
        三、抽象函式的奇偶性 
        例3若y=f***x***是偶函式,y= f***x-1***是奇函式，求 f***2007***=?                                            
        解析：因為y=f***x-1***是奇函式,所以y=f***-x-1***=-f***x-1***{為什麼？}；因為 y=f***x***是偶函式，所以f***-x-1***=f***x+1***{為什麼？}；因為f***x+1***=-f***x-1***, 所以f***x+2***=-f***x***,所以f***x+4***=f***x***;因為y=f***x-1***是奇函式,所以f***0***=0=f***-1***=f***2007*** 
        四、抽象函式的對稱性 
        例4已知函式y=f***2x+1***是定義在R上的奇函式，函式y=g***x***的影象與函式y=f***x***的影象關於y=x對稱,則g***x***+ g***-x***的值為（   ）
　　A、 2                 B、 0            C、  1                  D、不能確定 
　　解析：由y=f***2x+1***求得其反函式為y=[f （x）-1]/2，∵ y=f***2x+1*** 是奇函式，
        ∴y=[f （x）-1]/2也是奇函式，∴[f （x）-1]/2+[f （-x）-1]/2=0  ∴f （x）+f （-x）=2，而函式y=g***x***的影象與函式y=f***x***的影象關於y=x對稱，∴g***x***+ g***-x***= f （x）+f （-x）故選A ． 
        五、抽象函式的週期性 
　　例5、（2009全國卷Ⅰ理）函式的定義域為R，若f***x+1***與f***x-1***都是奇函式，則***    ***          
　　***A*** f***x***是偶函式         ***B*** f***x***是奇函式   
　　***C*** f***x***= f***x+2***           ***D*** f***x+3***是奇函式 
        解: ∵f***x+1***與f***x-1***都是奇函式，， 
        函式關於***-1,0***點，及點***1,0***對稱，函式是週期為4的周期函式.，所以f***x+3***= f***x-1***，即f***x+3***是奇函式．故選D 
       關於抽象函式的週期性有如下的幾個定理和性質，由於篇幅問題，推導就省略了．
定理1.若函式y=f ***x*** 定義域為R，且滿足條件f ***x＋a***=f ***x－b***，則y=f ***x*** 是以T=a＋b為週期的周期函式． 
        定理2.若函式y=f ***x*** 定義域為R，且滿足條件f ***x＋a***= －f ***x－b***，則y=f ***x*** 是以T=2（a＋b）為週期的周期函式． 
        定理3.若函式y=f ***x***的影象關於直線 x=a與 x=b  （a≠b***對稱，則y=f ***x*** 是以T=2***b－a***為週期的周期函式． 轉貼於 中國論文下載中
et 定理4.若函式y=f ***x***的影象關於點（a,0***與點***b,0*** , ***a≠b***對稱，則y=f ***x*** 是以 T=2***b－a***為週期的周期函式． 
        定理5.若函式y=f ***x***的影象關於直線 x=a與 點***b,0***,***a≠b***對稱，則y=f ***x*** 是以 T=4***b－a***為週期的周期函式． 
        性質1：若函式f***x***滿足f***a－x***=f***a＋x***及f***b－x***=f***b＋x*** ***a≠b,ab≠0***,則函式f***x***有周期2***a－b***； 
        性質2：若函式f***x***滿足f***a－x***= － f***a＋x***及f***b－x***=－ f***b＋x***，***a≠b,ab≠0***,則函式有周期2***a－b***. 
        特別：若函式f***x***滿足f***a－x***=f***a＋x*** （a≠0）且f***x***是偶函式，則函式f***x***有周期2a. 
        性質3：若函式f***x***滿足f***a－x***=f***a＋x***及f***b－x***= － f***b＋x*** ***a≠b,ab≠0***， 則函式有周期4***a－b***. 
        特別：若函式f***x***滿足f***a－x***=f***a＋x*** （a≠0）且f***x***是奇函式，則函式f***x***有周期4a． 
        從以上例題可以發現，抽象函式的考查範圍很廣，能力要求較高．但只要對函式的基本性質熟，掌握上述有關的結論和型別題相應的解法，則會得心應手．

例談直覺思維在中學數學解題中的應用
二次函式在高中階段的應用