高中數學反證法例題

　　反證法首先假設某命題不成立***即在原命題的題設下，結論不成立***，然後推理出明顯矛盾的結果，從而下結論說假設不成立，原命題得證。下面由小編給你帶來關於，希望對你有幫助!

　　一

　　選擇題

　　1.否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是***　　***

　　A.有一個解

　　B.有兩個解

　　C.至少有三個解

　　D.至少有兩個解

　　[答案]　C

　　[解析]　在邏輯中“至多有n個”的否定是“至少有n+1個”，所以“至多有兩個解”的否定為“至少有三個解”，故應選C.

　　2.否定“自然數a、b、c中恰有一個偶數”時的正確反設為***　　***

　　A.a、b、c都是奇數

　　B.a、b、c或都是奇數或至少有兩個偶數

　　C.a、b、c都是偶數

　　D.a、b、c中至少有兩個偶數

　　[答案]　B

　　[解析]　a，b，c三個數的奇、偶性有以下幾種情況：①全是奇數;②有兩個奇數，一個偶數;③有一個奇數，兩個偶數;④三個偶數.因為要否定②，所以假設應為“全是奇數或至少有兩個偶數”.故應選B.

　　3.用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大於60°”時，反設正確的是***　　***

　　A.假設三內角都不大於60°

　　B.假設三內角都大於60°

　　C.假設三內角至多有一個大於60°

　　D.假設三內角至多有兩個大於60°

　　[答案]　B

　　[解析]　“至少有一個不大於”的否定是“都大於60°”.故應選B.

　　4.用反證法證明命題：“若整係數一元二次方程ax2+bx+c=0***a≠0***有有理根，那麼a，b，c中至少有一個是偶數”時，下列假設正確的是***　　***

　　A.假設a，b，c都是偶數

　　B.假設a、b，c都不是偶數

　　C.假設a，b，c至多有一個偶數

　　D.假設a，b，c至多有兩個偶數

　　[答案]　B

　　[解析]　“至少有一個”反設詞應為“沒有一個”，也就是說本題應假設為a，b，c都不是偶數.

　　5.命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結論的否定應該是***　　***

　　A.a

　　B.a≤b

　　C.a=b

　　D.a≥b

　　[答案]　B

　　[解析]　“a>b”的否定應為“a=b或a

　　6.已知a，b是異面直線，直線c平行於直線a，那麼c與b的位置關係為***　　***

　　A.一定是異面直線

　　B.一定是相交直線

　　C.不可能是平行直線

　　D.不可能是相交直線

　　[答案]　C

　　[解析]　假設c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線.故應選C.

　　7.設a，b，c∈***-∞，0***，則三數a+1b，c+1a，b+1c中***　　***

　　A.都不大於-2

　　B.都不小於-2

　　C.至少有一個不大於-2

　　D.至少有一個不小於-2

　　[答案]　C

　　[解析]　a+1b+c+1a+b+1c

　　=a+1a+b+1b+c+1c

　　∵a，b，c∈***-∞，0***，

　　∴a+1a=--a+-1a≤-2

　　b+1b=--b+-1b≤-2

　　c+1c=--c+-1c≤-2

　　∴a+1b+c+1a+b+1c≤-6

　　∴三數a+1b、c+1a、b+1c中至少有一個不大於-2，故應選C.

　　8.若P是兩條異面直線l、m外的任意一點，則***　　***

　　A.過點P有且僅有一條直線與l、m都平行

　　B.過點P有且僅有一條直線與l、m都垂直

　　C.過點P有且僅有一條直線與l、m都相交

　　D.過點P有且僅有一條直線與l、m都異面

　　[答案]　B

　　[解析]　對於A，若存在直線n，使n∥l且n∥m

　　則有l∥m，與l、m異面矛盾;對於C，過點P與l、m都相交的直線不一定存在，反例如圖***l∥α***;對於D，過點P與l、m都異面的直線不唯一.

　　9.有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎了”，四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是***　　***

　　A.甲

　　B.乙

　　C.丙

　　D.丁

　　[答案]　C

　　[解析]　因為只有一人獲獎，所以丙、丁只有一個說對了，同時甲、乙中只有一人說對了，假設乙說的對，這樣丙就錯了，丁就對了，也就是甲也對了，與甲錯矛盾，所以乙說錯了，從而知甲、丙對，所以丙為獲獎歌手.故應選C.

　　10.已知x1>0，x1≠1且xn+1=xn***x2n+3***3x2n+1***n=1,2…***，試證“數列{xn}或者對任意正整數n都滿足xnxn+1”，當此題用反證法否定結論時，應為***　　***

　　A.對任意的正整數n，都有xn=xn+1

　　B.存在正整數n，使xn=xn+1

　　C.存在正整數n，使xn≥xn+1且xn≤xn-1

　　D.存在正整數n，使***xn-xn-1******xn-xn+1***≥0

　　[答案]　D

　　[解析]　命題的結論是“對任意正整數n，數列{xn}是遞增數列或是遞減數列”，其反設是“存在正整數n，使數列既不是遞增數列，也不是遞減數列”.故應選D.

　　二

　　填空題

　　11.命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結論的否定是________.

　　[答案]　沒有一個是三角形或四邊形或五邊形

　　[解析]　“至少有一個”的否定是“沒有一個”.

　　12.用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被5整除，那麼a，b中至少有一個能被5整除”，那麼反設的內容是________________.

　　[答案]　a，b都不能被5整除

　　[解析]　“至少有一個”的否定是“都不能”.

　　13.用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：

　　①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，這與三角形內角和為180°相矛盾，則∠A=∠B=90°不成立;

　　②所以一個三角形中不能有兩個直角;

　　③假設∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，不妨設∠A=∠B=90°.

　　正確順序的序號排列為____________.

　　[答案]　③①②

　　[解析]　由反證法證明的步驟知，先反證即③，再推出矛盾即①，最後作出判斷，肯定結論即②，即順序應為③①②.

　　14.用反證法證明質數有無限多個的過程如下：

　　假設______________.設全體質數為p1、p2、…、pn，令p=p1p2…pn+1.

　　顯然，p不含因數p1、p2、…、pn.故p要麼是質數，要麼含有______________的質因數.這表明，除質數p1、p2、…、pn之外，還有質數，因此原假設不成立.於是，質數有無限多個.

　　[答案]　質數只有有限多個　除p1、p2、…、pn之外

　　[解析]　由反證法的步驟可得.

　　三

　　解答題

　　15.已知：a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0.

　　求證：a>0，b>0，c>0.

　　[證明]　用反證法：

　　假設a，b，c不都是正數，由abc>0可知，這三個數中必有兩個為負數，一個為正數，

　　不妨設a<0，b<0，c>0，則由a+b+c>0，

　　可得c>-***a+b***，

　　又a+b<0，∴c***a+b***<-***a+b******a+b***

　　ab+c***a+b***<-***a+b******a+b***+ab

　　即ab+bc+ca<-a2-ab-b2

　　∵a2>0，ab>0，b2>0，∴-a2-ab-b2=-***a2+ab+b2***<0，即ab+bc+ca<0，

　　這與已知ab+bc+ca>0矛盾，所以假設不成立.

　　因此a>0，b>0，c>0成立.

　　16.已知a，b，c∈***0,1***.求證：***1-a***b，***1-b***c，***1-c***a不能同時大於14.

　　[證明]　證法1：假設***1-a***b、***1-b***c、***1-c***a都大於14.∵a、b、c都是小於1的正數，∴1-a、1-b、1-c都是正數.***1-a***+b2≥***1-a***b>14=12，

　　同理***1-b***+c2>12，***1-c***+a2>12.

　　三式相加，得

　　***1-a***+b2+***1-b***+c2+***1-c***+a2>32，

　　即32>32，矛盾.

　　所以***1-a***b、***1-b***c、***1-c***a不能都大於14.

　　證法2：假設三個式子同時大於14，即***1-a***b>14，***1-b***c>14，***1-c***a>14，三式相乘得

　　***1-a***b***1-b***c***1-c***a>143①

　　因為0

　　同理，0

　　所以***1-a***a***1-b***b***1-c***c≤143.②

　　因為①與②矛盾，所以假設不成立，故原命題成立.

　　17.已知函式f***x***是***-∞，+∞***上的增函式，a，b∈R.

　　***1***若a+b≥0，求證：f***a***+f***b***≥f***-a***+f***-b***;

　　***2***判斷***1***中命題的逆命題是否成立，並證明你的結論.

　　[解析]　***1***證明：∵a+b≥0，∴a≥-b.

　　由已知f***x***的單調性得f***a***≥f***-b***.

　　又a+b≥0?b≥-a?f***b***≥f***-a***.

　　兩式相加即得：f***a***+f***b***≥f***-a***+f***-b***.

　　***2***逆命題：

　　f***a***+f***b***≥f***-a***+f***-b***?a+b≥0.

　　下面用反證法證之.

　　假設a+b<0，那麼：

　　a+b<0?a<-b?f***a***

　　?f***a***+f***b***

　　這與已知矛盾，故只有a+b≥0.逆命題得證.

　　18.***2010?湖北理，20改編***已知數列{bn}的通項公式為bn=1423n-1.求證：數列{bn}中的任意三項不可能成等差數列.

　　[解析]　假設數列{bn}存在三項br、bs、bt***rbs>br，則只可能有2bs=br+bt成立.

　　∴2?1423s-1=1423r-1+1423t-1.

　　兩邊同乘3t-121-r，化簡得3t-r+2t-r=2?2s-r3t-s，

　　由於r

　　故數列{bn}中任意三項不可能成等差數列.