八年級數學期中考試卷子

　　15.兩個全等菱形如圖所示擺放在一起，其中B、C、D和G、C、F分別在同一條直線上，若較短的對角線長為10，點G與點D的距離是24，則此菱形邊長為　　　　　　.

　　16.如圖，菱形ABCD的對角線長分別為a、b，以菱形ABCD各邊的中點為頂點作矩形A1B1C1D1，然後再以矩形A1B1C1D1的中點為頂點作菱形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四邊形A2016B2016C2016D2016的面積用含a，b的代數式表示為　　　　　　.

　　三、解答題***本大題共4小題，每小題7分，共28分***

　　17.如圖，在▱ABCD中，∠D=45°，∠CAD=35°，求∠B和∠BAC的度數.

　　18.一個不透明的袋子中有編有序號的5個球***從1號到5號***，其中3個黃球***從1號到3號***，2個白球***從4號到5號***，這些球除顏色不同外其他完全相同.

　　***1***從袋子中隨機摸出一個球是1～5號中的一個，一共有幾種結果，這個事件是等可能的嗎?摸到黃球和白球是等可能的嗎?

　　***2***“從袋子中隨機摸出一個球是紅球”是　　　　　　事件;

　　***3***從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率是多少?

　　19.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，A、B、C都是格點.

　　***1***畫出△ABC關於BC對稱的△A′B′C′;

　　***2***將△ABC繞圖中的格點C順時針旋轉90°，得到△A1B1C1;

　　***3***畫出△ABC關於點O成中心對稱的△A2B2C2.

　　20.已知：如圖，P為矩形ABCD內一點，PC=PD，求證：PA=PB.

　　四、解答題***本大題共3小題，每小題8分，共24分***

　　21.下面是小明和同學做“拋擲質地均勻的硬幣試驗”獲得的資料.

　　拋擲次數 100 200 300 400 500

　　正面朝上的頻數m 51 98 153 200 255

　　正面朝上的頻率

　　***1***填寫表中的空格;

　　***2***畫出折線統計圖;

　　***3***當試驗次數很大時，“正面朝上”的頻率在　　　　　　附近擺動.

　　22.學校統籌安排大課間體育活動，在各班隨機選取了一部分學生，分成四類活動：“跳繩”、“羽毛球”、“乒乓球”、“其他”進行調查，整理收集到的資料，繪製成如圖的兩幅統計圖.

　　***1***學校採用的調查方式是　　　　　　;學校在各班隨機選取了　　　　　　名學生;

　　***2***補全統計圖中的資料：羽毛球　　　　　　人、乒乓球　　　　　　人、其他　　　　　　%;

　　***3***該校共有900名學生，請估計喜歡“跳繩”的學生人數.

　　23.已知：如圖，在四邊形ABCD中，P、Q、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點.

　　***1***求證：PQ、MN互相平分;

　　***2***當四邊形ABCD的邊滿足條件：　　　　　　時，PQ⊥MN.***不必證明***

　　五、解答題***本大題共2小題，每小題10分，共20分***

　　24.把一張矩形紙片ABCD按如圖方式摺疊，使頂點B和D重合，摺痕為EF.

　　***1***連線BE，求證：四邊形BFDE是菱形，並說明理由;

　　***2***若AB=8cm，BC=16cm，求線段DF及摺痕EF的長.

　　25.將面積為4的正方形ABCD與面積為8的正方形AEFG按圖①的位置放置，AD、AE在同一條直線上，AB、AG在同一條直線上.

　　***1***試判斷DG、BE的數量和位置關係，並說明理由;

　　***2***如圖2，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落線上段DG上時，求此時BE的長;

　　***3***如圖3，將正方形ABCD繞點A繼續逆時針旋轉，線段DG與線段BE將相交，交點為H，請直接寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值.

　　八年級數學下冊期中考試卷子參考答案

　　一、選擇題***本大題共8小題.每小題3分，共24分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請將正確選項的字母填寫在下面的答題欄處***

　　1.下列圖形中，是中心對稱圖形的是***　　***

　　A. B. C. D.

　　【考點】中心對稱圖形.

　　【分析】根據中心對稱的定義，結合所給圖形即可作出判斷.

　　【解答】解：A、是中心對稱圖形，故本選項正確;

　　B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;

　　C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;

　　D、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤;

　　故選：A.

　　2.下列成語所描述的事件是必然事件的是***　　***

　　A.甕中捉鱉 B.守株待兔 C.拔苗助長 D.水中撈月

　　【考點】隨機事件.

　　【分析】根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念進行解答即可.

　　【解答】解：甕中捉鱉是必然事件，A正確;

　　守株待兔是隨機事件，B錯誤;

　　拔苗助長是不可能事件，C錯誤;

　　水中撈月是不可能事件，D錯誤，

　　故選：A.

　　3.以下問題，不適合用全面調查的是***　　***

　　A.旅客上飛機前的安檢

　　B.學校招聘教師，對應聘人員的面試

　　C.瞭解全校學生的課外讀書時間

　　D.瞭解一批燈泡的使用壽命

　　【考點】全面調查與抽樣調查.

　　【分析】由普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似.

　　【解答】解：A、旅客上飛機前的安檢，意義重大，宜用全面調查，故A選項錯誤;

　　B、學校招聘教師，對應聘人員面試必須全面調查，故B選項錯誤;

　　C、瞭解全校同學課外讀書時間，數量不大，宜用全面調查，故C選項錯誤;

　　D、瞭解一批燈泡的使用壽，具有破壞性，工作量大，不適合全面調查，故D選項正確.

　　故選：D.

　　4.分別過一個三角形的3個頂點作對邊的平行線，這些平行線兩兩相交，則構成的平行四邊形的個數是***　　***

　　A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

　　【考點】平行四邊形的判定.

　　【分析】根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形進行畫圖即可.

　　【解答】解：如圖所示：

　　▱ACBD，▱ABCF，▱ABEC，

　　可構成3個平行四邊形，

　　故選：C.

　　5.用兩塊邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是***　　***

　　A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形

　　【考點】圖形的剪拼;等邊三角形的性質.

　　【分析】利用等邊三角形的性質，以及菱形的判定方法判斷即可.

　　【解答】解：用兩塊邊長為a的等邊三角形紙片拼成的四邊形是菱形，

　　故選B

　　6.如圖所示是由四根木棒搭成的平行四邊形框架，AB=8cm，AD=6cm，在此位置上，使AB固定，逆時針轉動AD.則關於▱ABCD面積變化情況敘述正確的是***　　***

　　A.先變大，再變小

　　B.先變小，再變大

　　C.保持不變

　　D.轉動過程中，▱ABCD面積沒有最大值

　　【考點】平行四邊形的性質.

　　【分析】逆時針轉動AD，當∠DAB是直角時，高最大，底AB不變，面積就最大，即可得出結論.

　　【解答】解：∵▱ABCD面積=AB×高，逆時針轉動AD時，高由小到大，再由大到小，

　　∴▱ABCD面積變化情況是先變大，再變小;

　　故選：A.

　　7.正方形具有而菱形不具有的性質是***　　***

　　A.對角線互相平分 B.對角線相等

　　C.對角線互相垂直且平分 D.對角線互相垂直

　　【考點】正方形的性質;菱形的性質.

　　【分析】根據正方形的性質以及菱形的性質即可判斷.

　　【解答】解：正方形和菱形都滿足：四條邊都相等，對角線平分一組對角，對角線垂直且互相平分;

　　菱形的對角線不一定相等，而正方形的對角線一定相等.

　　故選B.

　　8.如果依次連線四邊形各邊的中點所得四邊形是矩形，那麼原來的四邊形的兩條對角線***　　***

　　A.相等 B.互相垂直

　　C.互相平分 D.互相平分且相等

　　【考點】矩形的判定;三角形中位線定理.

　　【分析】由於順次連線四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形，再由矩形的判定可知，依次連線對角線互相垂直的四邊形各邊的中點所得四邊形是矩形.

　　【解答】解：由矩形的性質知，矩形的四個角為直角，即每組鄰邊互相垂直，故原四邊形的對角線應互相垂直.

　　順次連線對角線互相垂直的四邊形的各邊中點所得的圖形是矩形.

　　如圖：∵E、F、G、H分別為各邊中點，

　　∴EF∥GH∥DB，EF=GH= DB，

　　EH=FG= AC，EH∥FG∥AC，

　　∵DB⊥AC，

　　∴EF⊥EH

　　∴四邊形EFGH是矩形.

　　故選B.

　　二、填空題***本大題共8小題，每小題3分，共24分***

　　9.調查市場上某種食品的色素含量是否符合國家標準，這種調查適用　抽樣調查　.***填全面調查或者抽樣調查***

　　【考點】全面調查與抽樣調查.

　　【分析】由普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似.

　　【解答】解：由於食品數量龐大，且抽測具有破壞性，適用抽樣調查.

　　故答案為：抽樣調查.

　　10.為了解我縣8900名九年級畢業生的體育成績，從中抽取了300名考生的體育成績進行統計，在這個問題中，樣本是　300名九年級畢業生的體育成績　.

　　【考點】總體、個體、樣本、樣本容量.

　　【分析】總體是指考查的物件的全體，個體是總體中的每一個考查的物件，樣本是總體中所抽取的一部分個體，而樣本容量則是指樣本中個體的數目.我們在區分總體、個體、樣本、樣本容量，這四個概念時，首先找出考查的物件.從而找出總體、個體.再根據被收集資料的這一部分物件找出樣本，最後再根據樣本確定出樣本容量.

　　【解答】解：為了解我縣8900名九年級畢業生的體育成績，從中抽取了300名考生的體育成績進行統計，在這個問題中，樣本是300名九年級畢業生的體育成績，

　　故答案為：300名九年級畢業生的體育成績.

　　11.在四邊形ABCD中，AB=CD，要使四邊形ABCD是中心對稱圖形，只需新增一個條件，這個條件可以是　不唯一，可以是：AB∥CD或AD=BC，∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°等　.***只要填寫一種情況***

　　【考點】中心對稱圖形.

　　【分析】根據平行四邊形是中心對稱圖形，可以針對平行四邊形的各種判定方法，給出相應的條件，得出此四邊形是中心對稱圖形.

　　【解答】解：∵AB=CD，

　　∴當AD=BC，***兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.***

　　或AB∥CD***一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形***時，或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等時，四邊形ABCD是平行四邊形.

　　故此時是中心對稱圖象，

　　故答案為：AD=BC或AB∥CD或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等.

　　12.一個不透明的袋子中有1個紅球，2個黃球，3個白球，除顏色不同外，其他各方面都相同，現從中隨機摸出一個球：①這球是“紅球”;②這球是“黃球”;③這球是“白球”，將這些事件的序號按發生的可能性從大到小的順序排列為　③②①　.

　　【考點】可能性的大小;隨機事件.

　　【分析】根據概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數;②符合條件的情況數目;二者的比值就是其發生的概率，即可求出答案.

　　【解答】解：根據題意可得：袋子中有1個紅球，2個黃球，3個白球，共6個，

　　從袋子中隨機摸出一個球，①這球是“紅球”的概率是 ;②這球是“黃球”的概率是 ;③這球是“白球”的概率是 ，

　　故答案為：③②①.

　　13.矩形的兩條對角線的夾角為120°，較短的一邊為4，則其對角線長為　8　.

　　【考點】矩形的性質.

　　【分析】由矩形的性質和已知條件可證明△AOB為等邊三角形，再由等邊三角形的性質可求出AO的長，進而求出矩形對角線長.

　　【解答】解：如圖所示：

　　∵四邊形為矩形，

　　∴AC=BD，AO= AC，BO= BD，

　　∴AO=B0，

　　∵∠AOD=120°，

　　∴∠AOB=60°，

　　∴△AOB為等邊三角形，

　　∴AO=B0=AB=4，

　　∴AC=BD=2×4=8.

　　故答案為：8.

　　14.如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形A′B′C′D′的位置，旋轉角為a ***0°

　　【考點】旋轉的性質.

　　【分析】先利用旋轉的性質得到∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，再利用四邊形內角和計算出∠BAD=70°，然後利用互餘計算出∠DAD′，從而得到α的值.

　　【解答】解：∵矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形A′B′C′D′的位置，

　　∴∠ADC=∠D=90°，∠DAD′=α，

　　∵∠ABC=90°，

　　∴∠BAD=180°﹣∠2，

　　而∠2=∠21=110°，

　　∴∠BAD=180°﹣110°=70°，

　　∴∠DAD′=90°﹣70°=20°，

　　即α=20°.

　　故答案為20°.

　　15.兩個全等菱形如圖所示擺放在一起，其中B、C、D和G、C、F分別在同一條直線上，若較短的對角線長為10，點G與點D的距離是24，則此菱形邊長為　13　.

　　【考點】菱形的性質.

　　【分析】首先連線AC和BD，根據題意求出BO和OC的長，進而利用勾股定理求出菱形的邊長.

　　【解答】解：連線AC和BD，相交於點O，

　　∵點G與點D的距離是24，

　　∴OC=12，

　　∵較短的對角線長為10，

　　∴OB=5，

　　∴在Rt△OBC中，BC= =13，

　　∴菱形邊長為為13，

　　故答案為13.

　　16.如圖，菱形ABCD的對角線長分別為a、b，以菱形ABCD各邊的中點為頂點作矩形A1B1C1D1，然後再以矩形A1B1C1D1的中點為頂點作菱形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四邊形A2016B2016C2016D2016的面積用含a，b的代數式表示為　*** ***2017ab　.

　　【考點】矩形的性質;菱形的性質.

　　【分析】根據三角形中位線定理，逐步推理出各小長方形的面積，總結出規律，用規律解答即可.

　　【解答】解：∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，

　　∴S四邊形ABCD= ab;

　　由三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半，

　　∴四邊形A2016B2016C2016D2016的面積為*** ab.

　　故答案為： ab.

　　三、解答題***本大題共4小題，每小題7分，共28分***

　　17.如圖，在▱ABCD中，∠D=45°，∠CAD=35°，求∠B和∠BAC的度數.

　　【考點】平行四邊形的性質.

　　【分析】根據平行四邊形的性質可知：∠D=∠B═45°，AB∥CD，得出∠BAD+∠D=180°，求出∠BAD的度數，即可得出∠BAC的度數.

　　【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

　　∴∠B=∠D=45°，AB∥CD，

　　∴∠BAD+∠D=180°，

　　∴∠BAD=180°﹣45°=135°，

　　∴∠BAC=∠BAD﹣∠CAD=135°﹣35°=100°.

　　18.一個不透明的袋子中有編有序號的5個球***從1號到5號***，其中3個黃球***從1號到3號***，2個白球***從4號到5號***，這些球除顏色不同外其他完全相同.

　　***1***從袋子中隨機摸出一個球是1～5號中的一個，一共有幾種結果，這個事件是等可能的嗎?摸到黃球和白球是等可能的嗎?

　　***2***“從袋子中隨機摸出一個球是紅球”是　不可能　事件;

　　***3***從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率是多少?

　　【考點】概率公式.

　　【分析】***1***共有5個球，於是可判斷有5種等可能的結果數，由於黃球與白球的個數不等，所以摸到黃球和白球不是等可能的;

　　***2***根據確定事件的定義求解;

　　***3***根據概率公式求解.

　　【解答】解：***1***從袋子中隨機摸出一個球是1～5號中的一個，一共有5種結果，這個事件是等可能的，摸到黃球和白球不是等可能;

　　***2***“從袋子中隨機摸出一個球是紅球”是不可能事件;

　　***3***從袋子中隨機摸出一個球是黃球的概率= .

　　故答案為不可能.

　　19.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，A、B、C都是格點.

　　***1***畫出△ABC關於BC對稱的△A′B′C′;

　　***2***將△ABC繞圖中的格點C順時針旋轉90°，得到△A1B1C1;

　　***3***畫出△ABC關於點O成中心對稱的△A2B2C2.

　　【考點】作圖-旋轉變換;作圖-軸對稱變換.

　　【分析】***1***利用對稱軸的性質畫出點A的對應點A′即得到△A′B′C′;

　　***2***利用網格特點和旋轉的性質分別畫出點A、B、C的對應點A1、B1、C1，從而得到△A1B1C1;

　　***3***利用網格特點和旋轉的性質分別畫出點A、B、C的對應點A2、B2、C2，從而得到△A2B2C2.

　　【解答】解：***1***如圖，△A′B′C′為所作;

　　***2***如圖，△A1B1C1為所作;

　　***3***如圖，△A2B2C2為所作.

　　20.已知：如圖，P為矩形ABCD內一點，PC=PD，求證：PA=PB.

　　【考點】矩形的性質;全等三角形的判定與性質.

　　【分析】欲證明PA=PB只要證明△PAD≌PBC即可.

　　【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，

　　∴AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，

　　∵PD=PC，

　　∴∠PDC=∠PCD，

　　∴∠ADP=∠BCP，

　　在△PAD和△PBC中，

　　，

　　∴△PAD≌△PBC，

　　∴PA=PB.

　　四、解答題***本大題共3小題，每小題8分，共24分***

　　21.下面是小明和同學做“拋擲質地均勻的硬幣試驗”獲得的資料.

　　拋擲次數 100 200 300 400 500

　　正面朝上的頻數m 51 98 153 200 255

　　正面朝上的頻率

　　***1***填寫表中的空格;

　　***2***畫出折線統計圖;

　　***3***當試驗次數很大時，“正面朝上”的頻率在　0.51　附近擺動.

　　【考點】利用頻率估計概率;頻數***率***分佈折線圖.

　　【分析】***1***利用正面朝上的頻數÷拋擲次數=正面朝上的頻率分別求出即可;

　　***2***利用***1***中所求畫出折線圖即可;

　　***3***利用***1***所求，進而估計出，“正面朝上”的頻率.

　　【解答】解：***1***填表如下：

　　拋擲次數 100 200 300 400 500

　　正面朝上的頻數m 51 98 153 200 255

　　正面朝上的頻率

　　0.51 0.49 0.51 0.5 0.51

　　***2***如圖所示：

　　;

　　***3***當試驗次數很大時，“正面朝上”的頻率在0.51附近擺動.

　　故答案為：0.51.

　　22.學校統籌安排大課間體育活動，在各班隨機選取了一部分學生，分成四類活動：“跳繩”、“羽毛球”、“乒乓球”、“其他”進行調查，整理收集到的資料，繪製成如圖的兩幅統計圖.

　　***1***學校採用的調查方式是　抽樣調查　;學校在各班隨機選取了　100　名學生;

　　***2***補全統計圖中的資料：羽毛球　21　人、乒乓球　18　人、其他　25　%;

　　***3***該校共有900名學生，請估計喜歡“跳繩”的學生人數.

　　【考點】條形統計圖;全面調查與抽樣調查;用樣本估計總體;扇形統計圖.

　　【分析】***1***根據在各班隨機選取了一部分學生，即為抽樣調查，利用喜歡“籃球”的學生36人，所佔百分比為36%，即可得出樣本容量;

　　***2***用1減去籃球、羽毛球、乒乓球所佔百分比，得到其他所佔百分比，再用樣本容量乘以對應百分比，可得羽毛球、乒乓球、其他的人數，即可補全統計圖中的資料;

　　***3***利用樣本估計總體，用900乘以喜歡“跳繩”的學生所佔的百分比即可得出全校喜歡“跳繩”的學生人數.

　　【解答】解：***1***學校採用的調查方式是抽樣調查;

　　由題意可得：喜歡籃球的人數為：36人，所佔比例為：36%，

　　所以學校在各班隨機選取了學生：36÷36%=100***名***;

　　故答案為：抽樣調查，100;

　　***2***喜歡羽毛球人數為：100×21%=21***人***，

　　喜歡乒乓球人數為：100×18%=18***人***，

　　其他所佔百分比為：1﹣36%﹣21%﹣18%=25%，

　　喜歡其它人數為：100×25%=25***人***，

　　補全統計圖如下：

　　故答案為：21，18，25;

　　***3***900×36%=324.

　　答：估計喜歡跳繩的人數約為324人.

　　23.已知：如圖，在四邊形ABCD中，P、Q、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點.

　　***1***求證：PQ、MN互相平分;

　　***2***當四邊形ABCD的邊滿足條件：　AB=CD　時，PQ⊥MN.***不必證明***

　　【考點】中點四邊形.

　　【分析】***1***連線MP、NP、MQ、NQ，根據三角形中位線定理得到PM= AB，PM∥AB，NQ= AB，NQ∥AB，根據平行四邊形的判定定理證明四邊形PMQN是平行四邊形，根據平行四邊形的性質定理證明結論;

　　***2***根據菱形的判定定理和性質定理解答即可.

　　【解答】***1***證明：連線MP、NP、MQ、NQ，

　　∵P、M分別是AD、BD的中點，

　　∴PM= AB，PM∥AB，

　　同理NQ= AB，NQ∥AB，

　　∴PM∥NQ，PM=NQ，

　　∴四邊形PMQN是平行四邊形，

　　∴PQ、MN互相平分;

　　***2***AB=CD，

　　∵PM= AB，PN= CD，

　　當AB=CD時，PM=PN，

　　則平行四邊形PMQN是菱形，

　　∴PQ⊥MN.

　　五、解答題***本大題共2小題，每小題10分，共20分***

　　24.把一張矩形紙片ABCD按如圖方式摺疊，使頂點B和D重合，摺痕為EF.

　　***1***連線BE，求證：四邊形BFDE是菱形，並說明理由;

　　***2***若AB=8cm，BC=16cm，求線段DF及摺痕EF的長.

　　【考點】菱形的判定;翻折變換***摺疊問題***.

　　【分析】***1***由EF垂直並平分BD BD與EF交於點O，四邊形ABCD是矩形，易證得△DOE≌△BOF，繼而證得DE=BE=BF=DF，則可得四邊形BFDE是菱形;

　　***2***首先設DF=x，則FC=16﹣x，在Rt△EBF中，利用勾股定理即可求得菱形的邊長，再過點E作EG⊥BC於G，即可求得答案.

　　【解答】解：***1***四邊形BFDE是菱形.

　　由摺疊可知：EF垂直並平分BD BD與EF交於點O，

　　則BE=DE BF=DF，

　　∵四邊形ABCD是矩形，

　　∴DE∥BF，

　　∴∠EDO=∠FBO，

　　在△DOE和△BOF中，

　　，

　　∴△DOE≌△BOF***ASA***，

　　∴DE=BF，

　　∴DE=BE=BF=DF，

　　∴四為形BFDE為菱形;

　　***2***設DF=x，則FC=16﹣x，

　　在Rt△EBF中，由勾股定理得：FC2+DC2=DF2，

　　即82+***16﹣x***2=x2，

　　解得：x=10，

　　即DF的長為10，

　　過點E作EG⊥BC於G，則GF=4，

　　由勾股定理得：EF= =4 .

　　25.將面積為4的正方形ABCD與面積為8的正方形AEFG按圖①的位置放置，AD、AE在同一條直線上，AB、AG在同一條直線上.

　　***1***試判斷DG、BE的數量和位置關係，並說明理由;

　　***2***如圖2，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落線上段DG上時，求此時BE的長;

　　***3***如圖3，將正方形ABCD繞點A繼續逆時針旋轉，線段DG與線段BE將相交，交點為H，請直接寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值.

　　【考點】四邊形綜合題.

　　【分析】***1***由正方形的性質可證△ADG≌△ABE***SAS***，因此可證得∠AGD=∠AEB，如圖1，延長EB交DG於點H，然後由三角形的內角和和直角三角形的兩銳角互餘可證得結論;由正方形的性質和等量代換可證△ADG≌△ABE***SAS***，因此可證得DG=BE，

　　***2***如圖2，過點A作AM⊥DG交DG於點M，根據正方形的性質可證得DM=AM= ，然後根據勾股定理可求得GM的長，進而可求得BE=DG=DM+GM.

　　***3***對於△EGH，點H在以EG為直徑的圓上，所以當點H與點A重合時，△EGH的高最大，對於△BDH，點H在以BD為直徑的圓上，所以當點H與點A重合時，△BDH的高最大，因此求出這時的面積，再相加即可.

　　【解答】解：***1***如圖1，

　　四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形，

　　∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，

　　∴△ADG≌△ABE***SAS***，

　　∴∠AGD=∠AEB，

　　延長EB交DG於點H，

　　△ADG中∠AGD+∠ADG=90°，

　　∴∠AEB+∠ADG=90°，

　　△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，

　　∴∠DHE=90°，

　　∴DG⊥BE，

　　***2***四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形，

　　∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，

　　∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，

　　∴∠DAG=∠BAE，

　　AD=AB，∠DAG=∠BAE，AG=AE，

　　∴△ADG≌△ABE***SAS***，

　　∴DG=BE，

　　如圖2，過點A作AM⊥DG交DG於點M，

　　∠AMD=∠AMG=90°

　　BD是正方形ABCD的對角線，

　　∴∠MDA=45°，

　　∵面積為4的正方形ABCD與面積為8的正方形AEFG

　　∴AD=2，AE=2 ，

　　在Rt△AMD中，∠MDA=45°，

　　∴COS45°= ，

　　∴DM= ，

　　∴AM= ，

　　在Rt△AMG中，GM= = ，

　　∵DG=DM+GM= + ，

　　∴BE=DG= + ，

　　***3***面積的最大值為6.

　　如圖，

　　對於△EGH，點H在以EG為直徑的圓上，

　　所以當點H與點A重合時，△EGH的高最大，

　　∴S△EGH= AG×AE= ×8=4，

　　對於△BDH，點H在以BD為直徑的圓上，

　　所以當點H與點A重合時，△BDH的高最大，

　　∴S△BDH= AD×AB= ×4=2，

　　∴△GHE與△BHD面積之和的最大值是4+2=6.