數學歸納法證明不等式

　　歸納法由有限多個個別的特殊事例得出一般結論的推理方法。那怎麼用歸納法來證明不等式呢? 接下來小編為你整理了，一起來看看吧。

　　的基本知識

　　數學歸納法的基本原理、步驟和使用範圍

　　***1***在數學裡，常用的推理方法可分為演繹法和歸納法，演繹法一般到特殊，歸納法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般結論的推理方法，通常叫歸納法。在歸納時，如果逐個考察了某類事件的所有可能情況，因而得出一般結論，那麼結論是可靠的.這種歸納法叫完全歸納法***通常也叫列舉法***如果考察的只是某件事的部分情況，就得出一般結論，這種歸納法叫完全歸納法.這時得出的結論不一定可靠。數學問題中，有一類問題是與自然數有關的命題，因為自然數有無限多個，我們不可能就所有的自然數一一加以驗證，所以用完全歸納法是不可能的.然而只就部分自然數進行驗證所得到的結論，是不一定可靠的

　　例如一個數列的通項公式是an***n25n5***2

　　容易驗證a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，如果由此作出結論——對於任何nN+, an***n25n5***2=1都成立，那是錯誤的.

　　事實上，a5=25≠1.

　　因此，就需要尋求證明這一類命題的一種切實可行、比較簡便而又滿足邏輯嚴謹性要求的新的方法——數學歸納法.

　　***2***數學歸納法是一種重要的數學證明方法，其中遞推思想起主要作用。形象地說，多米諾骨牌遊戲是遞推思想的一個模型，數學歸納法的基本原理相當於有無限多張牌的多米諾骨牌遊戲，其核心是歸納遞推.

　　一般地，當要證明一個命題對於不小於某正整數n0的所有正整數n都成立時，可以用一下兩個步驟：***1***證明當n=n0***例如n0=1或2等***時命題成立;

　　***2***假設當n=k***kN，且k≥n0***時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.在完成了這兩個步驟以後，就可以斷定命題對於不小於n0所有自然數都成立.這種證明方法稱為數學歸納法.

　　自然數公理***皮亞諾公理***中的“歸納公理”是數學歸納法的理論根據，數學歸納法的兩步證明恰是驗證這條公理所說的兩個性質.數學歸納法的適用範圍僅限於與自然數n有關的命題.這裡的n是任意的正整數，它可取無限多個值.

　　附錄：下面是自然數的皮亞諾公理，供有興趣的同學閱讀.

　　任何一個象下面所說的非空集合N的元素叫做自然數，在這個集合中的某些元素a與b之間存在著一種基本關係：數b是數a後面的一個“直接後續”數，並且滿足下列公理：

　　①1是一個自然數;

　　②在自然數集合中，每個自然數a有一個確定“直接後續”數a’;

　　③a’≠1,即1不是任何自然數的“直接後續”數;

　　④由a’ =b’推出a=b,這就是說，每個自然數只能是另一個自然數的“直接後續”數;

　　⑤設M是自然數的一個集合，如果它具有下列性質：***Ⅰ***自然數1屬於M,***Ⅱ***如果自然數a屬於M，那麼它的一個“直接後續”數a’也屬於M，則集合M包含一切自然數.

　　其中第5條公理又叫做歸納公理，它是數學歸納法的依據.

　　***3***數學歸納法可以證明與自然數有關的命題，但是，並不能簡單地說所有涉及正整數n的命題都可以用數學歸納法證明.

　　例如用數學歸納法證明***1+1***n***n N***的單調性就難以實現.一般來說，n

　　從k=n到k=n+1時，如果問題中存在可利用的遞推關係，則數學歸納法有用武之地，否則使用數學歸納法就有困難.

　　例題