關於線性空間定義的一點註記

General 更新 2024年11月02日

為了在使用上方便,對某些概念進行定義時,總會給上更多的限制條件。這樣一來,在驗證某些概念時就需要驗證更多條件,這顯然不是我們想要的。但通過下文的證明,這多餘的條件其實更加方便使用。本文討論的是,線性空間八大公理與七大公理等價的問題。目的就是為了說明上面的事實,引導學生學會讀書。
 在郭聿琦等主編的《線性代數帶引》,或者說任何一本代數學教材,在定義線性空間時均採用瞭如下的八大公理:
    
 但是筆者在學習過程中發現,從本質上講,八大公理只需七大公理即可,第一公理可由後七公理匯出。本文正是為證明此命題的。

 首先證明兩個事實:
 事實一、
事實二、
 說明:為了避免在命題證明過程中出現迴圈引用的情況,下面的推導過程前後步驟間均給出直接引用的事實,用記號表示這一原則,其中的表示利用公理(2)可由得到。
 證明:
 (事實一)

綜上事實一即得證.

 (事實二)

 基於上面兩個事實,下面證明下面的命題:
 命題:線性空間中八大公理(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)與七大公理(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)等價。

 可以看出,兩大公理體系僅有一個公理的差別,因此為證明此命題只需要公理(1)可以由其餘七大公理匯出即可。
 證明:必要性是顯然成立的;
充分性
只需證明(1)可由(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)推出即可。


 綜上全部,命題即得以證明。
 可以看出,上面兩個定義的等價性是毋庸質疑的;並且可以看出,在證明的過程中只是反覆的引用公理事實。這就啟示我們在定義概念時,多加條件其實沒有影響,相反還會簡化我們驗證的過程,否則每次都要重複上面的過程去驗證交換律,這就是公理化體系的優點。
 這個命題是由我的恩師王正攀轉述給我們的,他得之於郭聿琦教授。
參考文獻
[1]郭聿琦.岑嘉評.徐貴桐.線性代數導引[M].北京:科學出版社,2001.

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