吉布斯現象的原因

　　吉布斯現象是怎麼回事?是什麼?下面就由小編告訴大家吧!

　　我們在“深入淺出的學習傅立葉變換”時曾瞭解到，數學界有過一場“正弦曲線能否組合成一個帶有稜角的訊號”的偉大爭議，而這場爭議的男主角自然就是傅立葉和拉格朗日了。當然兩位男主角都沒有錯，劇情也告一段落。

　　直到1898年，美國阿爾伯特·米切爾森做了一個諧波分析儀，當他測試方波時驚訝的發現方波的XN***t***在不連續點附近部分呈現起伏，這個起伏的峰值大小似乎不隨N增大而下降!於是他寫信給當時著名的數學物理學家吉布斯，吉布斯檢查了這一項結果，隨機發表了他的看法：隨著N增加，部分起伏就向不連續點壓縮，但是對任何有限的N值，起伏的峰值大小保持不變，這就是吉布斯現象。

　　吉布斯現象的解釋

　　吉布斯現象的含義是：一個不連續訊號X***t*** 的傅立葉級數的截斷近似XN***t***，一般來說，在接近不連續點處將呈現高頻起伏和超量，而且，若在實際情況下利用這樣一個近似式的話，就應該選擇足夠大的 N，以保證這些起伏擁有的總能量可以忽略。當然，在極限情況下，近似誤差的能量是零，而且一個不連續的訊號***如方波***的傅立葉級數表示是收斂的。

　　出現吉布斯現象其實是由於傅立葉變換本身有很多成熟的快速演算法***如FFT***，而且效能接近最佳，但它由於影象資料的二維傅立葉變換實質上是一個二維影象的傅立葉展開式，當然這個二維影象被認為是週期性的。由於子影象的變換系數在邊界上不連續，而將造成的復原子影象也在其邊界上不連續。於是由復原子影象構成的整幅復原影象將呈現隱約可見的以子影象尺寸為單位的方塊狀結構，影響整個影象質量。這就是為什麼傅立葉變換在分析方波時在其不連續點上出現了。

　　吉布斯現象的解決方法

　　解決吉布斯現象的方法是後來研究出來的離散餘弦變換***DCT***，即在傅立葉級數展開式中，如果被展開的函式是實偶函式，那麼其傅立葉級數中只包含餘弦項，再將其離散化可匯出餘弦變換。

　　基本思路為：將一個對稱的2N*2N畫素的子影象代替原來N*N子影象。由於對稱性，子影象做二維傅立葉變換，其變換系數將只剩下實數的餘弦項。這樣就可以消除吉布斯現象了。