如何從通解求微分方程?

General 更新 2024-12-21

微分方程的通解怎麼求？

解：∵(1+y)dx-(1-x)dy=0

==>dx-dy+(ydx+xdy)=0

==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0

==>x-y+xy=C (C是常數)

∴此方程的通解是x-y+xy=C。

微分方程求通解，C是怎麼出來的

微分方程是含有函數和導函數的等式，在未給出初值條件和邊值條件時，其原函數（通解）為一族解曲線，表示該曲線族的就是待定常數C

舉例說，y'=2x的解曲線族為y=x^2+C，表示一族拋物線，只有給出初始條件，才能確定積分常數C，比如若有x=0時y=0則可解出C=0，於是就得到特解y=x^2

怎樣通過微分方程的特解，確定它的通解並求微分方程

方程中解中有cos2x,sin2x, 特徵方程中有兩根即 +/-2i;

所以齊次方程是 y''+4y =0;觀察到解中有xsin2x 項；

所以非齊次解右邊為 sin2x,和cos2x;

所以設 y''+4y = c1sin2x+c2 cos2x;

代入y1特解可得 :

y1' = -2sin2x -1/4sin2x -1/2xcos2x;

y1'' = -5cos2x + xsin2x;

y1''+4y1 = cos2x;

所以解為y''+4y = cos2x

帶y的平方的微分方程怎樣求通解？

令u=y^2 則, u'=2 y y'

方程變成了 u'=(u-x)/(x+1)

接下來套用一階方程解的公式即可. u= (1 + x) C + (1 + x) (-(1/(1 + x)) - Log[1 + x])

5．求微分方程的通解。

y''+y'-2y=cosx -3sinx

p^2+p-2p=0

(p+2)(p-1)=0

p=-2 or 1

let

y= Ae^(-2x)+Be^(x) + Ccosx +Dsinx

y'=-2Ae^(-2x)+Be^(x) - Csinx +Dcosx

y''=4Ae^(-2x)+Be^(x) - Ccosx -Dsinx

y''+y'-2y=cosx -3sinx

Ccosx +Dsinx +(- Csinx +Dcosx) -2(- Ccosx -Dsinx) = cosx -3sinx

(3C+D)cosx +(3D-C)sinx =cosx -3sinx

3C+D =1 (1)

-C+3D=-3 (2)

3(1)-(2)

10C=6

C=3/5

from (1)

9/5 +D=1

D=-4/5

y= Ae^(-2x)+Be^(x) + (3/5)cosx -(4/5)sinx

如何求解微分方程y’’+4y=x的通解

特徵方程為λ^2+4=0,得：λ=2i, -2i

因此齊次方程y"+4y=0的通解y1=c1sin2x+c2cos2x

設特解y*=ax+b, 代入原方程得：4ax+4b=x