圓周率怎麼算?

圓周率是怎樣計算出來的？

祖沖之生於南北朝（西元429-500年）范陽薊縣人,他曾算出月球繞地球一週為27.21223日,和現在公認的27.21222日,在小數第五位才有1的誤差.難怪西方科學家將月球上的一個火山坑命名叫「祖沖之」,這也是月球上唯一用中國人命名的地方.

在三千多年前,周朝的時候,認為圓周長和直徑的比是三比一,也就是說,那個時候的圓周率等 於三,後來,歷代許多數學家,像西漢的劉歆、東漢的張衡,都分別提出新的數值.不過,真正求出比較 精確圓周率的,是魏晉時代(約西元263年)的劉徽,而他所用的方法叫做『割圓術』.他發現：當圓內接正多邊形的邊數不斷增加後,多邊形的周長會越來越逼近圓周長,而多邊形的面積也會越來越逼近圓面積.於是,劉徽利用正多邊形面積和圓面積之間的關係,從正六邊形開始,逐步把邊數加倍：正十二邊形、正二十四邊形、正四十八邊形、正九十六邊形,算出圓周率等於3.141024.當時數學家利用一種竹片做成的『算籌』,擺放在地上代表數字進行運算,不但麻煩而且辛苦.

祖沖之在劉徽研究的基礎上,進一步地發展,經過既漫長又煩瑣的計算,一直算到圓內接正24576邊形,而得到一個結論：圓周率的值介於3.1415926和3.1415927之間；同時,他還找到了圓周率的約率：22∕7、密率：355∕113.祖沖之為了求圓周率小數後的第七位準確值,把正六邊形的邊長計算到小數後二萬八千六百七十二位,是很了不起的成就.這當中有三點值得我們注意的,

他是自己做的,因為開平方不能你求小數後第一位到第八位,同時間,有另外一人求第九位到第十六位,.

目前使用的算盤到了十二世紀才出現,祖沖之那個時代還沒有算盤,可見其開平方的艱辛.

數學中的圓周率是怎麼算出來的？

早在一千七百多年前,我國古代數學家劉徽曾用割圓術求出圓周率是3.141024.繼劉徽之後,我國古代數學家祖沖之在推求圓周率的研究方面,又有了重要發展.他計算的結果共得到兩個數：一個是盈數（即過剩的近似值）,為3.1415927；另一個是（nǜ）數（即不足的近似值）,為 3.1415926.圓周率的真值正好在盈兩數之間.祖沖之還採用了兩個分數值：一個是22/7（約等於3.14）,稱之為“約率”；另一個是 355/113（約等於3.1415929）,稱之為“密率”.祖沖之求得的密率,比外國數學家求得這個值,至少要早一千年.

⑴ 2∕π＝√2∕2*√（2＋√2）∕2*√（2＋√（2＋√2））∕2……

⑵ π∕2＝2*2*4*4*6*6*8*8……∕（1*3*3*3*4*5*5*7*7……）

⑶ π∕4＝4arctg(1∕5）-arctg（1∕239） （注：tgx=…………）

⑷ π＝426880√10005∕（∑(（6n）!*（545140134n+13591409))

∕（（n!）*（3n)!*（-640320）＾（3n)))

（0≤n→∞）

現代數學家計算圓周率大多采用此類公式,普通人是望塵莫及的.而中國圓周率公式的使用就簡單多了,普通中學生使用常規計算工具就能輕鬆解決問題！

圓周率到底怎麼算啊？

另一種推測是：使用連分數法。 由於求二自然數的最大公約數的更相減損術遠在《九章算術》成書時代已流行，所以藉助這一工具求近似分數應該是比較自然的。於是有人提出祖沖之可能是在求得盈 二數之後，再使用這個工具，將3.14159265表示成連分數，得到其漸近分數：3，22／7，333／106，355／113，102573／32650… 最後，取精確度很高但分子分母都較小的355／113作為圓周率的近似值。至於上面圓周率漸近分數的具體求法，這裡略掉了。你不妨利用我們前面介紹的方法自己求求看。英國李約瑟博士持這一觀點。他在《中國科學技術史》卷三第19章幾何編中論祖沖之的密率說：“密率的分數是一個連分數漸近數，因此是一個非凡的成就。” 我國再回過頭來看一下國外所取得的成果。 1150年，印度數學家婆什迦羅第二計算出 π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亞細亞地區的天文學家、數學家卡西著《圓周論》，計算了3×228＝805,306,368邊內接與外切正多邊形的周長，求出 π值，他的結果是： π＝3.14159265358979325 有十七位準確數字。這是國外第一次打破祖沖之的記錄。 16世紀的法國數學家韋達利用阿基米德的方法計算 π 近似值，用 6×216正邊形，推算出精確到9位小數的 π值。他所採用的仍然是阿基米德的方法，但韋達卻擁有比阿基米德更先進的工具：十進位置制。17世紀初，德國人魯道夫用了幾乎一生的時間鑽研這個問題。他也將新的十進制與早的阿基米德方法結合起來，但他不是從正六邊形開始並將其邊數翻番的，他是從正方形開始的，一直推導出了有262條邊的正多邊形，約4,610,000,000,000,000,000邊形！這樣，算出小數35位。為了記念他的這一非凡成果，在德國圓周率 π 被稱為“魯道夫數”。但是，用幾何方法求其值，計算量很大，這樣算下去，窮數學家一生也改進不了多少。到魯道夫可以說已經登峰造極，古典方法已引導數學家們走得很遠，再向前推進，必須在方法上有所突破。 17世紀出現了數學分析，這銳利的工具使得許多初等數學束手無策的問題迎刃而解。 π 的計算曆史也隨之進入了一個新的階段。 分析法時期 這一時期人們開始擺脫求多邊形周長的繁難計算，利用無窮級數或無窮連乘積來算 π。 1593年，韋達給出這一不尋常的公式是 π 的最早分析表達式。甚至在今天，這個公式的優美也會令我們讚歎不已。它表明僅僅藉助數字2，通過一系列的加、乘、除和開平方就可算出 π值。 接著有多種表達式出現。如沃利斯1650年給出： 1706年，梅欽建立了一個重要的公式，現以他的名字命名： 再利用分析中的級數展開，他算到小數後100位。 這樣的方法遠比可憐的魯道夫用大半生時間才摳出的35位小數的方法簡便得多。顯然，級數方法宣告了古典方法的過時。此後，對於圓周率的計算像馬拉松式競賽，紀錄一個接著一個： 1844年，達塞利用公式： 算到200位。 19世紀以後，類似的公式不斷湧現， π 的位數也迅速增長。1873年，謝克斯利用梅欽的一系列方法，級數公式將 π 算到小數後707位。為了得到這項空前的紀錄，他花費了二十年的時間。他死後，人們將這凝聚著他畢生心血的數值，銘刻在他的墓碑上，以頌揚他頑強的意志和堅韌不拔的毅力。於是在他的墓碑上留下了他一生心血的結晶： π 的小數點後707位數值。這一驚人的結果成為此後74年的標準。此後半個世紀，人們對他的計算結果深信不疑，或者說即便懷疑也沒有辦法來檢查它是否正確。以致於在......