指數函數的學習?

指數函數是高考的重點，學起來比較複雜，下面就是我所總結的。

工具/原料

指數函數的學習

方法/步驟

數學術語編輯

指數函數是數學中重要的函數。應用到值 e 上的這個函數寫為exp( x )。還可以等價的寫為 ex ，這裡的 e 是數學常數，就是自然對數的底數，近似等於 2.718281828，還稱為歐拉數。當a>1時，指數函數對於 x 的負數值非常平坦，對於 x 的正數值迅速攀升，在 x等於 0 的時候y等於 1。當0

作為實數變量 x 的函數，

的圖像總是正的(在 x 軸之上)並遞增(從左向右看)。它永不觸及 x 軸，儘管它可以任意程度的靠近它(所以， x 軸是這個圖像的水平漸近線。它的反函數是自然對數ln( x )，它定義在所有正數 x 上。有時，尤其是在科學中，術語指數函數更一般性的用於形如

的

指數函數

函數，這裡的 a 叫做“底數”，是不等於 1 的任何正實數。本文最初集中於帶有底數為歐拉數e 的指數函數。指數函數的一般形式為

(a>0且≠1) (x∈R)，從上面我們關於冪函數的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得a>0且a≠1。如圖所示為a的不同大小影響函數圖形的情況。在函數中可以看到

：（1）指數函數的定義域為C，這裡的前提是a大於0且不等於1。對於a不大於0的情況，則必然使得函數的定義域不連續，因此我們不予考慮，同時a等於0函數無意義一般也不考慮。（2）指數函數的值域為C。（3）函數圖形都是下凹的。（4） a>1時，則指數函數單調遞增；若0

指數函數

程中（不等於0）函數的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。（6）函數總是在某一個方向上無限趨向於X軸,並且永不相交。（7）函數總是通過（0，1）這點,(若

,則函數定過點(0,1+b))（8）指數函數無界。（9）指數函數是非奇非偶函數（10）指數函數具有周期性，週期為2πi.指數函數具有反函數，其反函數是對數函數，它是一個多值函數。

公式推導編輯

e的定義：

設a>0,a≠1方法一：

指數函數

特殊地，當

時，

。方法二：設

，兩邊取對數ln y=xln a兩邊對x求導：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a特殊地，當a=e時，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。eº=1

函數圖像編輯

指數函數

（1）由指數函數y=a^x與直線x=1相交於點（1，a)可知：在y軸右側，圖像從下到上相應的底數由小變大。（2）由指數函數y=a^x與直線x=-1相交於點（-1，1/a）可知：在y軸左側，圖像從下到上相應的底數由大變小。（3）指數函數的底數與圖像間的關係可概括的記憶為：在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。（如右圖）。(4)

與

的圖像關於y軸對稱。

冪的比較編輯

比較大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函數單調性法；（3）中間值法：要比較A與B的大小，先找一箇中間值C，再比較A與C、B與C的大小，由不等式的傳遞性得到A與B之間的大小。比較兩個冪的大小時，除了上述一般方法之外，還應注意：（1）對於底數相同，指數不同的兩個冪的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷。例如：y1=34 ，y2=35 因為3大於1所以函數單調遞增（即x的值越大，對應的y值越大），因為5大於4，所以y2 大於y1 。（2）對於底數不同，指數相同的兩個冪的大小比較，可

指數函數

以利用指數函數圖像的變化規律來判斷。例如：

,因為1/2小於1所以函數圖像在定義域上單調遞減；3大於1，所以函數圖像在定義域上單調遞增，在x=0是兩個函數圖像都過（0，1）然後隨著x的增大，y1圖像下降，而y2上升，在x等於4時，y2大於y1.（3）對於底數不同，且指數也不同的冪的大小比較，則可以利用中間值來比較。如：<1> 對於三個（或三個以上）的數的大小比較，則應該先根據值的大小（特別是與0、1的大小）進行分組，再比較各組數的大小即可。<2> 在比較兩個冪的大小時，如果能充分利用“1”來搭“橋”（即比較它們與“1”的大小），就可以快速的得到答案。那麼如何判斷一個冪與“1”大小呢？由指數函數的圖像和性質可知“同大異小”。即當底數a和1與指數x與0之間的不等號同向（例如： a 〉1且x 〉0，或0〈 a〈 1且 x〈 0）時，