高中函式值域的12種求法
工具/原料
函式求值域
方法/步驟
觀察法 通過對函式定義域、性質的觀察，結合函式的解析式，求得函式的值域。 例1求函式y=3+√(2－3x) 的值域。 點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算術平方根的性質，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函式的知域為 . 點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，（2）值的非負性。 本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函式的值域的求法，簡捷明瞭，不失為一種巧法。
反函式法 當函式的反函式存在時，則其反函式的定義域就是原函式的值域。 例2求函式y=(x+1)/(x+2)的值域。 點撥：先求出原函式的反函式，再求出其定義域。 解：顯然函式y=(x+1)/(x+2)的反函式為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數,故函式y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。 點評：利用反函式法求原函式的定義域的前提條件是原函式存在反函式。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。
配方法 當所給函式是二次函式或可化為二次函式的複合函式時,可以利用配方法求函式值域 例3：求函式y=√(－x2+x+2)的值域。 點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函式的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函式的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函式的值域是[0,3/2] 點評：求函式的值域不但要重視對應關係的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。
判別式法 若可化為關於某變數的二次方程的分式函式或無理函式,可用判別式法求函式的值域。 例4求函式y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 點撥：將原函式轉化為自變數的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函式的值域。 解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 當y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 當y=2時,方程(＊)無解。∴函式的值域為2＜y≤10/3。 點評：把函式關係化為二次方程F(x,y)=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函式的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函式。
最值法 對於閉區間[a,b]上的連續函式y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函式的最值,可得到函式y的值域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函式z=xy+3x的值域。 點撥：根據已知條件求出自變數x的取值範圍，將目標函式消元、配方，可求出函式的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函式z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。 當x=-1時，z=－5；當x=3/2時，z=15/4。 ∴函式z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。 點評：本題是將函式的值域問題轉化為函式的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函式的值域。
圖象法 通過觀察函式的圖象，運用數形結合的方法得到函式的值域。 例6求函式y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域。 點撥：根據絕對值的意義，去掉符號後轉化為分段函式，作出其圖象。 解：原函式化為 －2x+1 (x≤1) y= 3 (-1
單調法 利用函式在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。 例1求函式y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。 點撥：由已知的函式是複合函式，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函式的增減性，從而確定函式的值域。 解：設f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函式，從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定義域為x≤1/3上也為增函式，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函式值域為｛y y≤4/3｝。 點評：利用單調性求函式的值域，是在函式給定的區間上，或求出函式隱含的區間，結合函式的增減性，求出其函式在區間端點的函式值，進而可確定函式的值域。
換元法 以新變數代替函式式中的某些量，使函式轉化為以新變數為自變數的函式形式，進而求出值域。 例2求函式y=x-3+√2x+1 的值域。 點撥：通過換元將原函式轉化為某個變數的二次函式，利用二次函式的最值，確定原函式的值域。 解：設t=√2x+1 （t≥0）,則 x=1/2(t2-1)。 於是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以，原函式的值域為｛y y≥－7/2｝。 點評：將無理函式或二次型的函式轉化為二次函式，通過求出二次函式的最值，從而確定出原函式的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。
構造法 根據函式的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。 例3求函式y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域。 點撥：將原函式變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函式的值域。 解：原函式變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22 作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1 。 由三角形三邊關係知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共線時取等號。 ∴原函式的知域為｛y y≥5｝。 點評：對於形如函式y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數)，均可通過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明瞭、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。
比例法 對於一類含條件的函式的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函式，進而求出原函式的值域。 例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函式z=x2+y2的值域。 點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設定引數，代入原函式。 解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為引數) ∴x=3+4k,y=1+3k, ∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。 當k=－3/5時，x=3/5,y=－4/5時，zmin=1。 函式的值域為｛z z≥1｝. 點評：本題是多元函式關係，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，通過設引數，可將原函式轉化為單函式的形式，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創新意識。
利用多項式的除法 例5求函式y=(3x+2)/(x+1)的值域。 點撥：將原分式函式，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。 解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。 ∵1/(x+1)≠0，故y≠3。 ∴函式y的值域為y≠3的一切實數。 點評：對於形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函式均可利用這種方法。
不等式法 例6求函式Y=3x/(3x+1)的值域。 點撥：先求出原函式的反函式，根據自變數的取值範圍，構造不等式。 解：易求得原函式的反函式為y=log3[x/(1-x)], 由對數函式的定義知 x/(1-x)＞0 1-x≠0 解得，0＜x<1。 ∴函式的值域（0，1）。 點評：考查函式自變數的取值範圍構造不等式（組）或構造重要不等式，求出函式定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應用非常廣泛。是數學解題的方法之一。