二次函式在高中階段的應用
General 更新 2024年12月25日
在初中教材中，對二次函式作了較詳細的研究，由於初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解。進入高中以後，尤其是高三複習階段，要對他們的基本概念和基本性質（影象以及單調性、奇偶性、有界性）靈活應用，對二次函式還需再深入學習。
一、進一步深入理解函式概念
初中階段已經講述了函式的定義，進入高中後在學習集合的基礎上又學習了對映，接著重新學習函式概念，主要是用對映觀點來闡明函式，這時就可以用學生已經有一定了解的函式，特別是二次函式為例來加以更深認識函式的概念。二次函式是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的對映ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c***a≠0***與集合A的元素X對應，記為ƒ***x***= ax2+ bx+c***a≠0***這裡ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函式的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函式值的記號後，可以讓學生進一步處理如下問題：
這裡不能把ƒ***x+1***理解為x=x+1時的函式值，只能理解為自變數為x+1的函式值。
型別Ⅱ：設ƒ***x+1***=x2－4x+1,求ƒ***x***
這個問題理解為，已知對應法則ƒ下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。
***1***把所給表示式表示成x+1的多項式。
ƒ***x+1***=x2－4x+1=***x+1***2－6***x+1***+6，再用x代x+1得ƒ***x***=x2－6x+6
***2*** 變數代換：它的適應性強，對一般函式都可適用。
令t=x+1，則x=t-1 ∴***t***=***t-1***2－4***t-1***+1=t2－6t+6從而ƒ***x***= x2－6x+6
二、二次函式的單調性，最值與影象。
在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函式y=ax2+bx+c在區間（－∞，－b2a]及[－b2a，+∞） 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函式影象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用影象學習二次函式有關的一些函式單調性。
型別Ⅲ：畫出下列函式的影象，並通過影象研究其單調性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）= x2+2|x|－1
這裡要使學生注意這些函式與二次函式的差異和聯絡。掌握把含有絕對值記號的函式用分段函式去表示，然後畫出其影象。
型別Ⅳ設ƒ***x***=x2－2x－1在區間[t,t+1]上的最小值是g***t***。
求：g***t***並畫出 y=g***t***的影象
解：ƒ***x***=x2－2x－1=***x－1***2－2，在x=1時取最小值－2
當1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g***t***=－2
當t＞1時，g***t***=ƒ***t***=t2－2t－1 ]
當t＜0時，g***t***=ƒ***t+1***=t2－2
t2－2, ***t<0***
g***t***= -2，***0≤t≤1***
t2－2t－1, ***t>1***
首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函式在實數集合R上或是隻有最小值或是隻有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。
如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函式的值域。
三、二次函式的知識，可以準確反映學生的數學思維：
型別Ⅴ：設二次函式ƒ***x***=ax2+bx+c***a>0***方程ƒ***x***－x=0的兩個根x1，x2滿足0<x1<x2<1a。
***Ⅰ***當X∈***0,x1***時，證明X<ƒ***x***<x1。
***Ⅱ***設函式ƒ***x***的影象關於直線x=x0對稱，證明x0< x2。
解題思路：
本題要證明的是x<ƒ***x***，ƒ***x***<x1和x0< x2 ，由題中所提供的資訊可以聯想到：①ƒ***x***=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內有兩個不同的交點；②方程ƒ***x***－x=0可變為ax2+***b－1***x+1=0，它的兩根為x1,x2，可得到x1,x2與a.b.c之間的關係式，因此解題思路明顯有三條①影象法②利用一元二次方程根與係數關係③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導。現以思路②為例解決這道題：
***Ⅰ***先證明x<ƒ***x***，令ƒ***x***=ƒ***x***-x，因為x1,x2是方程ƒ***x***-x=0的根，ƒ***x***=ax2+bx+c，所以能ƒ***x***=a***x－x1******x－x2***
因為0<x1<x2,所以,當x∈***0,x1***時, x－x1<0, x－x2<0得（x－x1）（x－x2）>0,又a＞0,因此ƒ***x*** ＞0,即ƒ***x***-x＞0.至此,證得x<ƒ***x***
根據韋達定理,有 x1x2=ca ∵ 0＜x1＜x2<1a，c=ax1x2<x=ƒ***x1***, 又c=ƒ***0***,∴ƒ***0***<ƒ***x1***, 根據二次函式的性質，曲線y=ƒ***x***是開口向上的拋物線，因此，函式y=ƒ***x***在閉區間[0，x1]上的最大值在邊界點x=0或x=x1處達到，而且不可能在區間的內部達到，由於ƒ***x1***>ƒ***0***，所以當x∈***0,x1***時ƒ***x***<ƒ***x1***=x1，
即x<ƒ***x***<x1
***Ⅱ*** ∵ƒ***x***=ax2+bx+c=a（x+－b/2a）2+***c－***,（a>0）
函式ƒ***x***的影象的對稱軸為直線x=－ b/2a,且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=－b/2a，因為x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=－b-1a，∵x2－1a<0，
∴x0=－b2a=12（x1+x2－1a）<x2,即x0=x2。
二次函式，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函式，可以以它為代表來研究函式的性質，可以建立起函式、方程、不等式之間的聯絡，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。
二次函式的內容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數學教學中也多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入。
幾個抽象函式問題的粗淺分析
漫談高等代數中一類具有共性的問題
一、進一步深入理解函式概念
初中階段已經講述了函式的定義，進入高中後在學習集合的基礎上又學習了對映，接著重新學習函式概念，主要是用對映觀點來闡明函式，這時就可以用學生已經有一定了解的函式，特別是二次函式為例來加以更深認識函式的概念。二次函式是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的對映ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c***a≠0***與集合A的元素X對應，記為ƒ***x***= ax2+ bx+c***a≠0***這裡ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函式的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函式值的記號後，可以讓學生進一步處理如下問題：
這裡不能把ƒ***x+1***理解為x=x+1時的函式值，只能理解為自變數為x+1的函式值。
型別Ⅱ：設ƒ***x+1***=x2－4x+1,求ƒ***x***
這個問題理解為，已知對應法則ƒ下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。
***1***把所給表示式表示成x+1的多項式。
ƒ***x+1***=x2－4x+1=***x+1***2－6***x+1***+6，再用x代x+1得ƒ***x***=x2－6x+6
***2*** 變數代換：它的適應性強，對一般函式都可適用。
令t=x+1，則x=t-1 ∴***t***=***t-1***2－4***t-1***+1=t2－6t+6從而ƒ***x***= x2－6x+6
二、二次函式的單調性，最值與影象。
在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函式y=ax2+bx+c在區間（－∞，－b2a]及[－b2a，+∞） 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函式影象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用影象學習二次函式有關的一些函式單調性。
型別Ⅲ：畫出下列函式的影象，並通過影象研究其單調性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）= x2+2|x|－1
這裡要使學生注意這些函式與二次函式的差異和聯絡。掌握把含有絕對值記號的函式用分段函式去表示，然後畫出其影象。
型別Ⅳ設ƒ***x***=x2－2x－1在區間[t,t+1]上的最小值是g***t***。
求：g***t***並畫出 y=g***t***的影象
解：ƒ***x***=x2－2x－1=***x－1***2－2，在x=1時取最小值－2
當1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g***t***=－2
當t＞1時，g***t***=ƒ***t***=t2－2t－1 ]
當t＜0時，g***t***=ƒ***t+1***=t2－2
t2－2, ***t<0***
g***t***= -2，***0≤t≤1***
t2－2t－1, ***t>1***
首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函式在實數集合R上或是隻有最小值或是隻有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。
如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函式的值域。
三、二次函式的知識，可以準確反映學生的數學思維：
型別Ⅴ：設二次函式ƒ***x***=ax2+bx+c***a>0***方程ƒ***x***－x=0的兩個根x1，x2滿足0<x1<x2<1a。
***Ⅰ***當X∈***0,x1***時，證明X<ƒ***x***<x1。
***Ⅱ***設函式ƒ***x***的影象關於直線x=x0對稱，證明x0< x2。
解題思路：
本題要證明的是x<ƒ***x***，ƒ***x***<x1和x0< x2 ，由題中所提供的資訊可以聯想到：①ƒ***x***=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內有兩個不同的交點；②方程ƒ***x***－x=0可變為ax2+***b－1***x+1=0，它的兩根為x1,x2，可得到x1,x2與a.b.c之間的關係式，因此解題思路明顯有三條①影象法②利用一元二次方程根與係數關係③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導。現以思路②為例解決這道題：
***Ⅰ***先證明x<ƒ***x***，令ƒ***x***=ƒ***x***-x，因為x1,x2是方程ƒ***x***-x=0的根，ƒ***x***=ax2+bx+c，所以能ƒ***x***=a***x－x1******x－x2***
因為0<x1<x2,所以,當x∈***0,x1***時, x－x1<0, x－x2<0得（x－x1）（x－x2）>0,又a＞0,因此ƒ***x*** ＞0,即ƒ***x***-x＞0.至此,證得x<ƒ***x***
根據韋達定理,有 x1x2=ca ∵ 0＜x1＜x2<1a，c=ax1x2<x=ƒ***x1***, 又c=ƒ***0***,∴ƒ***0***<ƒ***x1***, 根據二次函式的性質，曲線y=ƒ***x***是開口向上的拋物線，因此，函式y=ƒ***x***在閉區間[0，x1]上的最大值在邊界點x=0或x=x1處達到，而且不可能在區間的內部達到，由於ƒ***x1***>ƒ***0***，所以當x∈***0,x1***時ƒ***x***<ƒ***x1***=x1，
即x<ƒ***x***<x1
***Ⅱ*** ∵ƒ***x***=ax2+bx+c=a（x+－b/2a）2+***c－***,（a>0）
函式ƒ***x***的影象的對稱軸為直線x=－ b/2a,且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=－b/2a，因為x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=－b-1a，∵x2－1a<0，
∴x0=－b2a=12（x1+x2－1a）<x2,即x0=x2。
二次函式，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函式，可以以它為代表來研究函式的性質，可以建立起函式、方程、不等式之間的聯絡，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。
二次函式的內容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數學教學中也多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入。
漫談高等代數中一類具有共性的問題