人教版八年級下冊數學複習提綱

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　　一

　　§17.1分式及基本性質

　　一、分式的概念

　　1、分式的定義：如果A、B表示兩個整式，並且B中含有字母，那麼式子 叫做分式。

　　2、對於分式概念的理解，應把握以下幾點：

　　***1***分式是兩個整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分數線起除號和括號的作用;***2***分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式;***3***分母不能為零。

　　3、分式有意義、無意義的條件

　　***1***分式有意義的條件：分式的分母不等於0;

　　***2***分式無意義的條件：分式的分母等於0。

　　4、分式的值為0的條件：

　　當分式的分子等於0，而分母不等於0時，分式的值為0。即，使 =0的條件是：A=0，B≠0。

　　5、有理式

　　整式和分式統稱為有理式。整式分為單項式和多項式。

　　分類：有理式

　　單項式：由數與字母的乘積組成的代數式;

　　多項式：由幾個單項式的和組成的代數式。

　　二、分式的基本性質

　　1、分式的基本性質：分式的分子與分母都乘以***或除以***同一個不等於零的整式，分式的值不變。

　　用式子表示為：= = ，其中M***M≠0***為整式。

　　2、通分：利用分式的基本性質，使分子和分母都乘以適當的整式，不改變分式的值，把幾個異分母分式化成同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。

　　通分的關鍵是：確定幾個分式的最簡公分母。確定最簡公分母的一般方法是：***1***如果各分母都是單項式，那麼最簡公分母就是各系數的最小公倍數、相同字母的最高次冪、所有不同字母及指數的積。***2***如果各分母中有多項式，就先把分母是多項式的分解因式，再參照單項式求最簡公分母的方法，從係數、相同因式、不同因式三個方面去確定。

　　3、約分：根據分式的基本性質，約去分式的分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分。

　　在約分時要注意：***1***如果分子、分母都是單項式，那麼可直接約去分子、分母的公因式，即約去分子、分母系數的最大公約數，相同字母的最低次冪;***2***如果分子、分母中至少有一個多項式就應先分解因式，然後找出它們的公因式再約分;***3***約分一定要把公因式約完。

　　三、分式的符號法則：

　　***1***= =-;***2***=;***3***- =

　　二

　　§17.2分式的運算

　　一、分式的乘除法

　　1、法則：

　　***1***乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。***意思就是，分式相乘，分子與分子相乘，分母與分母相乘***。

　　用式子表示：

　　***2***除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置後，再與被除式相乘。

　　用式子表示：

　　2、應用法則時要注意：***1***分式中的符號法則與有理數乘除法中的符號法則相同，即“同號得正，異號得負，多個負號出現看個數，奇負偶正”;***2***當分子分母是多項式時，應先進行因式分解，以便約分;***3***分式乘除法的結果要化簡到最簡的形式。

　　二、分式的乘方

　　1、法則：根據乘方的意義和分式乘法法則，分式的乘方就是把將分子、分母分別乘方，然後再相除。

　　用式子表示：***其中n為正整數，a≠0***

　　2、注意事項：***1***乘方時，一定要把分式加上括號;***2***在一個算式中同時含有乘方、乘法、除法時，應先算乘方，再算乘除，有多項式時應先因式分解，再約分;***3***最後結果要化到最簡。

　　三、分式的加減法

　　***一***同分母分式的加減法

　　1、法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。

　　用式子表示：

　　2、注意事項：***1***“分子相加減”是所有的“分子的整體”相加減，各個分子都應有括號;當分子是單項式時括號可以省略，但分母是多項式時，括號不能省略;***2***分式加減運算的結果必須化成最簡分式或整式。

　　***二***異分母分式的加減法

　　1、法則：異分母分式相加減，先通分，轉化為同分母分式後，再加減。用式子表示： 。

　　2、注意事項：***1***在異分母分式加減法中，要先通分，這是關鍵，把異分母分式的加減法變成同分母分式的加減法。***2***若分式加減運算中含有整式，應視其分母為1，然後進行通分。***3***當分子的次數高於或等於分母的次數時，應將其分離為整式與真分式之和的形式參與運算，可使運算簡便。

　　四、分式的混合運算

　　1、運算規則：分式的加、減、乘、除、乘方混合運算，先乘方，再乘除，最後算加減。遇到括號時，要先算括號裡面的。

　　2、注意事項：***1***分式的混合運算關鍵是弄清運算順序;***2***有理數的運算順序和運算規律對分式運算同樣適用，要靈活運用交換律、結合律和分配律;***3***分式運算結果必須化到最簡，能約分的要約分，保證運算結果是最簡分式或整式。

　　三

　　§17.3 可化為一元一次方程的分式方程

　　一、分式方程基本概念

　　1、定義：方程中含有分式，並且分母中含有未知數的方程叫做分式方程。

　　2、理解分式方程要明確兩點：***1***方程中含有分式;***2***分式的分母含有未知數。

　　分式方程與整式方程最大區別就在於分母中是否含有未知數。

　　二、分式方程的解法

　　1、解分式方程的基本思想：化分式方程為整式方程。途徑：“去分母”。

　　方法是：方程兩邊都乘以各分式的最簡公分母，約去分母，化為整式方程求解。

　　2、解分式方程的一般步驟：

　　***1***去分母。即在方程兩邊都乘以各分式的最簡公分母，約去分母，把原分式方程化為整式方程;

　　***2***解這個整式方程;

　　***3***驗根。驗根方法：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等於0的根是原分式方程的根，使最簡公分母為0的根是原分式方程的增根，必須捨去。這種驗根方法不能檢查解方程過程中出現的計算錯誤，還可以採用另一種驗根方法，即把求得的未知數的值代入原方程進行檢驗，這種方法可以發現解方程過程中有無計算錯誤。

　　3、分式方程的增根。意義是：把分式方程化為整式方程後，解出的整式方程的根有時只是這個整式的方程的根而不是原分式方程的根，這種根就是增根，因此，解分式方程必須驗根。

　　三、分式方程的應用

　　1、意義：分式方程的應用就是列分式方程解應用題，它和列一元一次方程解應用題的方法、步驟、解題思路基本相同，不同的是，因為有了分式概念，所列代數式的關係不再受整式的限制，列出的方程含有分式，且分母含有未知數，解出方程的解後還要進行檢驗。

　　2、列分式方程解應用題的一般步驟如下：

　　***1***審題。理解題意，弄清已知條件和未知量;

　　***2***設未知數。合理的設未知數表示某一個未知量，有直接設法和間接設法兩種;

　　***3***找出題目中的等量關係，寫出等式;

　　***4***用含已知量和未知數的代數式來表示等式兩邊的語句，列出方程;

　　***5***解方程。求出未知數的值;

　　***6***檢驗。不僅要檢驗所求未知數的值是否為原方程的根，還要檢驗未知數的值是否符合題目的實際意。“雙重驗根”。

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