邏輯代數基礎知識

　　邏輯代數是分析和設計邏輯電路的數學基礎。邏輯代數是由英國科學家喬治·布林George·Boole創立的，故又稱布林代數。以下是由小編整理關於的內容，希望大家喜歡!

　　邏輯代數的簡介

　　邏輯代數是分析和設計邏輯電路的數學基礎。邏輯代數是由英國科學家喬治·布林George·Boole創立的，故又稱布林代數。

　　當邏輯代數的邏輯狀態多於2種時如0、1、2或更多狀態時，其通用模型的基本邏輯有2個。

　　一個是從一種狀態變為另一種狀態的邏輯，是一個一元邏輯;

　　另外一種是兩種狀態中按照某種規則比如比較大小有傾向性的選擇出其中一種狀態的邏輯，這是一個二元邏輯。

　　依據這兩種邏輯，可以表達任意多狀態的任意邏輯關係，即最小表示式。

　　即任意多狀態的邏輯是完備的。

　　當邏輯狀態數擴充套件有理數量級甚至更多。任意數學運算都可以用兩個運算關係來聯合表達：加減法和比較大小。

　　邏輯代數中的概念

　　參與邏輯運算的變數叫邏輯變數，用字母A，B……表示。每個變數的取值非0 即1。0、1不表示數的大小，而是代表兩種不同的邏輯狀態。

　　正、負邏輯規定：

　　正邏輯體制規定：高電平為邏輯1，低電平為邏輯0。

　　負邏輯體制規定：低電平為邏輯1，高電平為邏輯0。

　　邏輯函式：如果有若干個邏輯變數如A、B、C、D按與、或、非三種基本運算組合在一起，得到一個表示式L。對邏輯變數的任意一組取值如0000、0001、0010L有唯一的值與之對應，則稱L為邏輯函式。邏輯變數A、B、C、D的邏輯函式記為：L=fA、B、C、D

　　乘法原理和加法原理與邏輯代數的關係

　　⒈與邏輯和乘法

　　乘法原理中自變數是因變數成立的必要條件，與邏輯的定義正好和乘法原理的描述一致，所以與邏輯和乘法對應。

　　⒉或邏輯和加法

　　加法原理中自變數是因變數成立的充分條件，或邏輯的定義正好和加法原理的描述一致，所以或邏輯和加法對應。

　　乘法就是廣義的與邏輯運算，加法就是廣義的或邏輯運算。與邏輯運算可以看作是乘法的特例。或邏輯運算可以看作是加法的特例。

　　總之，乘法原理、加法原理可以看作是與邏輯和或邏輯的定量表述;與邏輯和或邏輯可以看作是乘法原理、加法原理的定性表述。

　　邏輯代數的基本規則

　　代入規則

　　任何一個含有變數 X 的等式，如果將所有出現 X 的位置，都代之以一個邏輯函式 F，此等式仍然成立。

　　對偶規則

　　設 F 是一個邏輯函式式，如果將 F 中的所有的 * 變成 +，+ 變成 *，0 變成 1，1 變成 0，而變數保持不變。那麼就的得到了一個邏輯函式式 F'，這個 F' 就稱為 F 的對偶式。如果兩個邏輯函式F 和 G 相等，則它們各自的對偶式F' 和 G' 也相等。

　　反演規則

　　當已知一個邏輯函式F，要求 ¬F 時，只要把 F 中的所有 * 變成 +，+ 變成 *，0 變成 1，1 變成 0，原變數變成反變數，反變數變成原變數，即得 ¬F。運用反演規則時必須注意一下兩個原則：1保持原來的運算優先順序，即先進行與運算，後進行或運算。並注意優先考慮括號內的運算。2對於反變數以外的非號應保留不變。。

　　邏輯代數的邏輯函式

　　標準形式

　　邏輯變數的邏輯與運算叫做與項，與項的邏輯或運算構成了邏輯函式的與或式，也叫做積之和式SP form。

　　邏輯變數的邏輯或運算叫做或項，或項的邏輯與運算構成了邏輯函式的或與式，也叫做和之積式PS form。

　　最小項

　　在n變數邏輯函式中，若m為包含n個因子的乘積項，而且n個變數均以原變數或反變數的形式在m中出現一次，則稱m為該組變數的最小項。

　　性質：

　　①在輸入變數的任何一取值下必有一個最小項，而且僅有一個最小項的值為1。

　　②任意兩個最小項的乘積為0。

　　③全體最小項之和為1。

　　④具有相鄰性的兩個最小項之和可以合併為一項並消去一個因子。

　　⑤n個變數的最小項數目為2n

　　最大項

　　在n變數邏輯函式中，若M為n個變數的和，而且這n個變數均以原變數或反變數的形式在M中出現一次，則稱M為該組變數的最大項。

　　性質：

　　①在輸入變數的任何取值下，必有一個，而且只有一個最大項的值是0。

　　②任意兩個最大項之和為1。

　　③全體最大項之積為0。

　　④只有一個變數不同的兩個最大項的乘積等於各相同變數之和。

　　⑤ n個變數的最大項數目為2n

　　化簡

　　運用邏輯代數的基本公式及規則可以對邏輯函式進行變換，從而得到表示式的最簡形式。這裡所謂的最簡形式是指最簡與或式或者是最簡或與式，它們的判別標準有兩條：⑴項數最少;⑵在項數最少的條件下，項內的文字最少。

　　卡諾圖是遵循一定規律構成的。由於這些規律，使邏輯代數的許多特性在圖形上得到形象而直觀的體現，從而使它成為公式證明、函式化簡的有力工具。

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