高考數學柯西不等式知識點總結

　　柯西不等式和排序不等式是兩個非常重要的不等式，它們在高等數學中的應用很普遍。下面小編給大家帶來高考數學柯西不等式知識點，希望對你有幫助。

　　高考數學柯西不等式知識點***一***

　　所謂柯西不等式是指:設ai，bi∈R***i=1，2…，n，***，則***a1b1+a2b2+…anbn***2≤***a12+a22+…+an2******b12+b22+…+bn2***，等號當且僅當==…=時成立。

　　柯西不等式證法:

　　柯西不等式的一般證法有以下幾種：

　　***1***柯西不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai， bi，則有 ***∑ai^2*** * ***∑bi^2*** ≥ ***∑ai *bi***^2.

　　我們令 f***x*** = ∑***ai + x * bi***^2 = ***∑bi^2*** * x^2 + 2 * ***∑ai * bi*** * x + ***∑ai^2***

　　則我們知道恆有 f***x*** ≥ 0.

　　用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有 Δ = 4 * ***∑ai * bi***^2 - 4 * ***∑ai^2*** * ***∑bi^2*** ≤ 0.

　　於是移項得到結論。

　　***2***用向量來證.

　　m=***a1，a2......an*** n=***b1，b2......bn***

　　mn=a1b1+a2b2+......+anbn=***a1^2+a2^2+......+an^2***^***1/2***乘以***b1^2+b2^2+......+bn^2***^***1/2***乘以cosX.

　　因為cosX小於等於1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^2+a2^2+......+an^2***^***1/2***乘以***b1^2+b2^2+.....+bn^2***^***1/2***

　　這就證明了不等式.

　　柯西不等式還有很多種，這裡只取兩種較常用的證法.

　　柯西不等式應用:

　　可在證明不等式，解三角形相關問題，求函式最值，解方程等問題的方面得到應用。

　　巧拆常數：

　　例：設a、b、c 為正數且各不相等。

　　求證： 2/***a+b***+2/***b+c***+2/***c+a***>9/***a+b+c***

　　分析：∵a 、b 、c 均為正數

　　∴為證結論正確只需證：2****a+b+c***[1/***a+b***+1/***b+c***+1/***c+a***]>9

　　而2***a+b+c***=***a+b***+***a+c***+***c+b***

　　又 9=***1+1+1******1+1+1***

　　證明：Θ2***a+b+c***[1/***a+b***+1/***b+c***+1/***c+a***]=[***a+b***+***a+c***+***b+c***][1/***a+b***+1/***b+c***+1/***c+a***]≥***1+1+1******1+1+1***=9

　　又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立

　　∴原不等式成立。

　　像這樣的例子還有很多，詞條裡不再一一列舉，大家可以在參考資料裡找到柯西不等式的證明及應用的具體文獻.

　　柯西簡介:

　　17***8月21日生於巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動盪的政治漩渦中一直擔任公職。由於家庭的原因，柯西本人屬於擁護波旁王朝的正統派，是一位虔誠的天主教徒。

　　他在純數學和應用數學的功力是相當深厚的，很多數學的定理和公式也都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式...在數學寫作上，他是被認為在數量上僅次於尤拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，其中有些還是經典之作，不過並不是他所有的創作質量都很高，因此他還曾被人批評高產而輕率，這點倒是與數學王子相反，據說，法國科學院''會刊''創刊的時候，由於柯西的作品實在太多，以致於科學院要負擔很大的印刷費用，超出科學院的預算，因此，科學院後來規定論文最長的只能夠到四頁，所以，柯西較長的論文只得投稿到其他地方。

　　柯西在代數學、幾何學、誤差理論以及天體力學、光學、彈性力學諸方面都有出色的工作。特別是，他弄清了彈性理論的基本數學結構，為彈性力學奠定了嚴格的理論基礎。

　　高考數學柯西不等式知識點***二***

　　一、一般形式

　　***∑***ai*********∑***bi****** ≥ ***∑ai·bi***

　　等號成立條件：

　　一般形式的證明

　　***∑***ai^2*********∑***bi^2****** ≥ ***∑ai·bi*** ^2

　　證明：

　　等式左邊=***ai·bj+aj·bi***+.................... 共n2 /2項

　　等式右邊=***ai·bi***·***aj·bj***+***aj·bj***·***ai·bi***+...................共n2 /2項

　　用均值不等式容易證明 等式左邊≥等式右邊 得證

　　二、向量形式

　　|α||β|≥|α·β|，α=***a1，a2，…，an***，β=***b1，b2，...，bn******n∈N，n≥2***

　　等號成立條件：β為零向量，或α=λβ***λ∈R***。

　　向量形式的證明

　　令m=***a1，a2，…，an***，n=***b1，b2，…，bn***　　m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<<b>m，n>=√***a1+a2+…+an*** ×√***b1+b2+…+bn*** ×cos<<b>m，n>　　∵cos<<b>m，n>≤1　　∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√***a1+a2+…+an*** ×√***b1+b2+…+bn***　　注：“√”表示平方根。

　　高考數學得分技巧

　　在三門主科中，只有數學最容易拉開距離，也最為同學、家長所關心。由於高考的特殊性，有些同學在考試開始的前5分鐘就已亂了方寸，導致誰都不希望的結果。

　　1.做好前面5個小題。不要小看這幾個小題，對穩定情緒，鼓舞士氣有很大作用。有些同學就是由於前面個別小題做得不順，影響整個考試情緒。而一旦前面發揮得好，會感到一路順手，所向披靡。

　　2.認真審題。由於前面題目簡單，想抓緊時間做完，以便騰出時間做後面的難題，結果把題目看錯了，非常可惜。如2000年上海卷第1題就有不少同學犯這種低階錯誤。

　　3.確實遇到暫時不會做的題目，可以放一放，但很多同學做不到。擔心前面就有不會做，後面肯定更難，從而心慌手抖，頭腦一片空白。

　　要知道難易對大家都一樣，你不會別人可能也不會。遇到暫時不會做的題目要敢於“合理放棄”，必要時你可以抬頭看看，周圍的人還在做這道難題，讓他們浪費時間吧，我去做會做的題目。這種心理暗示會減少你的壓力，等會做的做完了，狀態很好，勢如破竹，再回過來，有時一看就會了，這就能使你出色發揮。

　　4.對多數同學而言，最後兩題的最後一問是“用不著”做的，如果前面不細心失誤而把時間放攻難題上是得不償失，犯了策略性錯誤。

　　5.心理素質不太好的同學，不一定要先看整個試卷，因為遇到難題會緊張。