判斷充分與必要條件常用方法
General 更新 2024年11月15日
充分條件與必要條件是高中階段非常重要的數學概念，它涉及知識範圍廣，綜合性強，能與高中任何知識相結合，有一定的深度與難度，此類題目能有力地考查學生的邏輯思維能力.那麼我們如何把握和解決此類問題呢？
一、 定義法
對於“?圯”，可以簡單的記為箭頭所指為必要，箭尾所指為充分.在解答此類題目時，利用定義直接推導，一定要抓住命題的條件和結論的四種關係的定義.
例1 已知p：-2＜m＜0，0＜n＜1；q：關於x的方程x2+mx+n=0有兩個小於1的正根，試分析p是q的什麼條件？
分析 條件p確定了m，n的範圍，結論q則明確了方程的根的特點，且m，n作為係數，因此理應聯想到根與係數的關係，然後再進一步化簡.
解 設x1，x2是方程x2+mx+n=0的兩個小於1的正根，即0＜x1＜1，0＜x2＜1，則0＜x1+x2＜2，0＜x1?x2＜1，依韋達定理，則有0＜-m＜2，0＜n＜1，從而q?圯p.
綜上，可知p是q的必要但不充分條件.
點評 解決條件判斷問題時，務必分清誰是條件，誰是結論，然後既要嘗試由條件能否推出結論，也要嘗試由結論能否推出條件，這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷.
二、 集合法
如果將命題p，q分別看作兩個集合A與B，用集合意識解釋條件，則有：①若A?哿B，則x∈A是x∈B的充分條件，x∈B是x∈A的必要條件；②若A?芴B，則x∈A是x∈B的充分不必要條件，x∈B是x∈A的必要不充分條件；③若A=B，則x∈A和x∈B互為充要條件；④若A?芫B且A?芸B，則x∈A和x∈B互為既不充分也不必要條件.
A. 充要條件 B. 既非充分也非必要條件
C. 必要不充分條件?搖D. 充分不必要條件
解 如右圖所示，平面區域P={（x，y）|x2+y2＜2}表示圓內部分（不含邊界）；平面區域Q={（x，y）||x|+|y|≤}表示小正方形內部分（含邊界）；平面區域M={（x，y）||x|+|y|＜2}表示大正方形內部分（不含邊界）.
由於（，0）?埸P，但（，0）∈Q，則P?芸Q.又P?芫Q，於是x2+y2＜2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要條件，故選B.
同理P?芴M，於是x2+y2＜2是|x|+|y|＜2的充分不必要條件，故選D.
點評 由數想形，以形輔數，這種解法正是數形結合思想在解題中的有力體現.數形結合不僅能夠拓寬我們的解題思路，而且也能夠提高我們的解題能力.
三、 逆否法
利用互為逆否命題的等價關係，應用“正難則反”的數學思想，將判斷“p?圯q”轉化為判斷“非q?圯非p”的真假.
例3 （1）判斷p：x≠3且y≠2是q：x+y≠5的什麼條件；
（2） 判斷p：x≠3或y≠2是q：x+y≠5的什麼條件.
解 （1）原命題等價於判斷非q：x+y=5是非p：x=3或y=2的什麼條件.
顯然非p非q，非q非p，故p是q的既不充分也不必要條件.
（2） 原命題等價於判斷非q：x+y=5是非p：x=3且y=2的什麼條件.
因為非p?圯非q，但非q非p，故p是q的必要不充分條件.
點評 當命題含有否定詞時，可考慮通過逆否命題等價轉化判斷.
四、 篩選法
用特殊值、舉反例進行驗證，做出判斷，從而簡化解題過程.這種方法尤其適合於解選擇題.
例4 方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是
A. 0＜a≤1 B. a＜1 C. a≤1 D. 0＜a≤1
解 利用特殊值驗證：當a=0時，x=-，排除A，D；當a=1時，x=-1，排除B.因此選C.
點評 作為選擇題，利用篩選法避免了複雜的邏輯推理過程，使解題方法更加優化，節省了時間，提高了解題的速度，因此同學們應該注意解題方法的選擇使用.
五、 傳遞法
充分條件與必要條件具有傳遞性，即由P1?圯P2，P2?圯P3，…，Pn-1?圯Pn，可得P1?圯Pn .同樣，充要條件也有傳遞性.對於比較複雜的具有一定連鎖關係的條件，兩個條件間關係的判斷也可用傳遞法來加以處理.
例5 已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那麼p是q的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解 由題意可得p?圯r，r?圯s，s?圯q，那麼可得p?圯r?圯s?圯q，即p是q的充分不必要條件，故選A.
點評 對於兩個以上的較複雜的連鎖式條件，利用傳遞性結合符號“?圯”與“”，畫出它們之間的關係結構圖進行判斷，可以直觀快捷地處理問題，使問題得以簡單化.
1. 求三個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一個方程有實根的充要條件.
1. 三個方程均無實根的充要條件是
Δ1=16a2-4（-4a+3）＜0，Δ2=（a-1）2-4a2＜0，Δ3=4a2-4（-2a）＜0，解得-＜a＜-1，故至少有一個方程有實根的充要條件是a|a≥-1或a≤-.
高考數學寒假備考
答題善於尋找簡便方法贏得時間
一、 定義法
對於“?圯”，可以簡單的記為箭頭所指為必要，箭尾所指為充分.在解答此類題目時，利用定義直接推導，一定要抓住命題的條件和結論的四種關係的定義.
例1 已知p：-2＜m＜0，0＜n＜1；q：關於x的方程x2+mx+n=0有兩個小於1的正根，試分析p是q的什麼條件？
分析 條件p確定了m，n的範圍，結論q則明確了方程的根的特點，且m，n作為係數，因此理應聯想到根與係數的關係，然後再進一步化簡.
解 設x1，x2是方程x2+mx+n=0的兩個小於1的正根，即0＜x1＜1，0＜x2＜1，則0＜x1+x2＜2，0＜x1?x2＜1，依韋達定理，則有0＜-m＜2，0＜n＜1，從而q?圯p.
綜上，可知p是q的必要但不充分條件.
點評 解決條件判斷問題時，務必分清誰是條件，誰是結論，然後既要嘗試由條件能否推出結論，也要嘗試由結論能否推出條件，這樣才能明確做出充分性與必要性的判斷.
二、 集合法
如果將命題p，q分別看作兩個集合A與B，用集合意識解釋條件，則有：①若A?哿B，則x∈A是x∈B的充分條件，x∈B是x∈A的必要條件；②若A?芴B，則x∈A是x∈B的充分不必要條件，x∈B是x∈A的必要不充分條件；③若A=B，則x∈A和x∈B互為充要條件；④若A?芫B且A?芸B，則x∈A和x∈B互為既不充分也不必要條件.
A. 充要條件 B. 既非充分也非必要條件
C. 必要不充分條件?搖D. 充分不必要條件
解 如右圖所示，平面區域P={（x，y）|x2+y2＜2}表示圓內部分（不含邊界）；平面區域Q={（x，y）||x|+|y|≤}表示小正方形內部分（含邊界）；平面區域M={（x，y）||x|+|y|＜2}表示大正方形內部分（不含邊界）.
由於（，0）?埸P，但（，0）∈Q，則P?芸Q.又P?芫Q，於是x2+y2＜2是|x|+|y|≤的既非充分也非必要條件，故選B.
同理P?芴M，於是x2+y2＜2是|x|+|y|＜2的充分不必要條件，故選D.
點評 由數想形，以形輔數，這種解法正是數形結合思想在解題中的有力體現.數形結合不僅能夠拓寬我們的解題思路，而且也能夠提高我們的解題能力.
三、 逆否法
利用互為逆否命題的等價關係，應用“正難則反”的數學思想，將判斷“p?圯q”轉化為判斷“非q?圯非p”的真假.
例3 （1）判斷p：x≠3且y≠2是q：x+y≠5的什麼條件；
（2） 判斷p：x≠3或y≠2是q：x+y≠5的什麼條件.
解 （1）原命題等價於判斷非q：x+y=5是非p：x=3或y=2的什麼條件.
顯然非p非q，非q非p，故p是q的既不充分也不必要條件.
（2） 原命題等價於判斷非q：x+y=5是非p：x=3且y=2的什麼條件.
因為非p?圯非q，但非q非p，故p是q的必要不充分條件.
點評 當命題含有否定詞時，可考慮通過逆否命題等價轉化判斷.
四、 篩選法
用特殊值、舉反例進行驗證，做出判斷，從而簡化解題過程.這種方法尤其適合於解選擇題.
例4 方程ax2+2x+1=0至少有一個負實根的充要條件是
A. 0＜a≤1 B. a＜1 C. a≤1 D. 0＜a≤1
解 利用特殊值驗證：當a=0時，x=-，排除A，D；當a=1時，x=-1，排除B.因此選C.
點評 作為選擇題，利用篩選法避免了複雜的邏輯推理過程，使解題方法更加優化，節省了時間，提高了解題的速度，因此同學們應該注意解題方法的選擇使用.
五、 傳遞法
充分條件與必要條件具有傳遞性，即由P1?圯P2，P2?圯P3，…，Pn-1?圯Pn，可得P1?圯Pn .同樣，充要條件也有傳遞性.對於比較複雜的具有一定連鎖關係的條件，兩個條件間關係的判斷也可用傳遞法來加以處理.
例5 已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那麼p是q的
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解 由題意可得p?圯r，r?圯s，s?圯q，那麼可得p?圯r?圯s?圯q，即p是q的充分不必要條件，故選A.
點評 對於兩個以上的較複雜的連鎖式條件，利用傳遞性結合符號“?圯”與“”，畫出它們之間的關係結構圖進行判斷，可以直觀快捷地處理問題，使問題得以簡單化.
1. 求三個方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一個方程有實根的充要條件.
1. 三個方程均無實根的充要條件是
Δ1=16a2-4（-4a+3）＜0，Δ2=（a-1）2-4a2＜0，Δ3=4a2-4（-2a）＜0，解得-＜a＜-1，故至少有一個方程有實根的充要條件是a|a≥-1或a≤-.
答題善於尋找簡便方法贏得時間