初二數學實數知識點解析

　　實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的點相對應的數。今天小編將與大家分享：初二數學的實數相關知識點解析。具體內容如下：
 

　　實數知識點解析一.定義

　　1.一般地,如果一個正數x的平方等於a,即x2=a,那麼這個正數x叫做a的算術平方根.a叫做被開方數.

　　2.一般地,如果一個數的平方等於a,那麼這個數叫做a的平方根或二次方根,求一個數a的平方根的運算,叫做開平方.

　　3.一般地,如果一個數的立方等於a,那麼這個數叫做a的立方根或三次方根.求一個數的立方根的運算,叫做開立方.

　　4.任何一個有理數都可以寫成有限小數或無限迴圈小數的形式.任何有限小數或無限迴圈小數也都是有理數.

　　5.無限不迴圈小數又叫無理數.

　　6.有理數和無理數統稱實數.

　　7.數軸上的點與實數一一對應.平面直角座標系中與有序實數對之間也是一一對應的.
 

　　實數知識點解析二.重點

　　1.平方與開平方互為逆運算.

　　2.正數的平方根有兩個,它們互為相反數,其中正的平方根就是這個數的算術平方根.

　　3.當被開方數的小數點向右每移動兩位,它的算術平方根的小數點就向右移動一位.

　　4.當被平方數小數點每向右移動三位,它的立方根小數點向右移動一位.

　　5.數a的相反數是-a[a為任意實數],一個正實數的絕對值是它本身,一個負實數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0.
 

　　實數知識點解析三.注意

　　1.被開方數一定是非負數.

　　2.0,1的算術平方根是它本身;0的平方根是0,負數沒有平方根;正數的立方根是正數,負數的立方根是負數,0的立方根是0.

　　3.帶根號的無理數的整數倍或幾分之幾仍是無理數;帶根號的數若開之後是有理數則是有理數;任何一個有理數都能寫成分數的形式.
 

　　實數知識點解析四、性質
 

　　基本運算

　　實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負數***即正數和0***還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除***除數不為零***、平方後結果還是實數。任何實數都可以開奇次方，結果仍是實數，只有非負實數，才能開偶次方其結果還是實數。
 

　　四則運算封閉性

　　實數集R對加、減、乘、除***除數不為零***四則運算具有封閉性，即任意兩個實數的和、差、積、商***除數不為零***仍然是實數。
 

　　有序性

　　實數集是有序的，即任意兩個實數a、b必定滿足並且只滿足下列三個關係之一：ab。
 

　　傳遞性

　　實數大小具有傳遞性，即若a>b，且b>c，則有a>c。
 

　　阿基米德性質

　　實數具有阿基米德性質***Archimedean property***，即∀a，b ∈R，若a>0，則∃正整數n，na>b。
 

　　稠密性

　　實數集R具有稠密性，即兩個不相等的實數之間必有另一個實數，既有有理數，也有無理數.
 

　　數軸

　　如果在一條直線***通常為水平直線***上確定O作為原點，指定一個方向為正方向***通常把指向右的方向規定為正方向***，並規定一個單位長度，則稱此直線為數軸。任一實數都對應與數軸上的唯一一個點;反之，數軸上的每一個點也都唯一的表示一個實數。於是，實數集R與數軸上的點有著一一對應的關係。
 

　　完備性

　　作為度量空間或一致空間，實數集合是個完備空間，它有以下性質：

　　一. 所有實數的柯西序列都有一個實數極限。

　　有理數集合就不是完備空間。例如，***1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...*** 是有理數的柯西序列，但沒有有理數極限。實際上，它有個實數極限 。

　　實數是有理數的完備化——這亦是構造實數集合的一種方法。

　　極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於歐幾里德幾何的直線沒有“空隙”。

　　二. “完備的有序域”

　　實數集合通常被描述為“完備的有序域”，這可以幾種解釋。

　　首先，有序域可以是完備格。然而，很容易發現沒有有序域會是完備格。這是由於有序域沒有最大元素***對任意元素z，z+1將更大***。所以，這裡的“完備”不是完備格的意思。

　　另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經定義。上述的唯一性也說明了這裡的“完備”是指戴德金完備性的意思。這個完備性的意思非常接近採用戴德金分割來構造實數的方法，即從***有理數***有序域出發，通過標準的方法建立戴德金完備性。

　　這兩個完備性的概念都忽略了域的結構。然而，有序群***域是種特殊的群***可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的概念。上述完備性中所述的只是一個特例。***這裡採用一致空間中的完備性概念，而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性，這是由於度量空間的定義依賴於實數的性質。***當然，R 並不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實際上，“完備的阿基米德域”比“完備的有序域”更常見。可以證明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的***當然反之亦然***。這個完備性的意思非常接近採用柯西序列來構造實數的方法，即從***有理數***阿基米德域出發，通過標準的方法建立一致完備性。

　　“完備的阿基米德域”最早是由希爾伯特提出來的，他還想表達一些不同於上述的意思。他認為，實數構成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。這樣 R 是“完備的”是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。這個完備性的意思非常接近用超實數來構造實數的方法，即從某個包含所有***超實數***有序域的純類出發，從其子域中找出最大的阿基米德域。
 

　　高階性質

　　實數集是不可數的，也就是說，實數的個數嚴格多於自然數的個數***儘管兩者都是無窮大***。這一點，可以通過康托爾對角線方法證明。實際上，實數集的勢為 2ω***請參見連續統的勢***，即自然數集的冪集的勢。由於實數集中只有可數集個數的元素可能是代數數，絕大多數實數是超越數。實數集的子集中，不存在其勢嚴格大於自然數集的勢且嚴格小於實數集的勢的集合，這就是連續統假設。事實上這假設獨立於ZFC集合論，在ZFC集合論內既不能證明它，也不能推出其否定。

　　所有非負實數的平方根屬於R，但這對負數不成立。這表明R 上的序是由其代數結構確定的。而且，所有奇數次多項式至少有一個根屬於 R。這兩個性質使R成為實封閉域的最主要的例項。證明這一點就是對代數基本定理的證明的前半部分。

　　實數集擁有一個規範的測度，即勒貝格測度。

　　實數集的上確界公理用到了實數集的子集，這是一種二階邏輯的陳述。不可能只採用一階邏輯來刻畫實數集：1. Löwenheim–Skolem theorem定理說明，存在一個實數集的可數稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實數集自身完全相同的命題;2. 超實數的集合遠遠大於 R，但也同樣滿足和 R一樣的一階邏輯命題。滿足和 R 一樣的一階邏輯命題的有序域稱為 R 的非標準模型。這就是非標準分析的研究內容，在非標準模型中證明一階邏輯命題***可能比在R中證明要簡單一些***，從而確定這些命題在R 中也成立。
 

　　拓撲性質

　　實數集構成一個度量空間：x 和 y 間的距離定為絕對值 |x - y|。作為一個全序集，它也具有序拓撲。這裡，從度量和序關係得到的拓撲相同。實數集又是 1 維的可縮空間***所以也是連通空間***、區域性緊緻空間、可分空間、貝利空間。但實數集不是緊緻空間。這些可以通過特定的性質來確定，例如，無限連續可分的序拓撲必須和實數集同胚。以下是實數的拓撲性質總覽：

　　i.令a 為一實數。a 的鄰域是實數集中一個包括一段含有 a 的線段的子集。

　　ii.R 是可分空間。

　　iii.Q 在 R 中處處稠密。

　　iv.R的開集是開區間的聯集。

　　v.R的緊子集是有界閉集。特別是：所有含端點的有限線段都是緊子集。

　　vi.每個R中的有界序列都有收斂子序列。

　　vii.R是連通且單連通的。

　　viii.R中的連通子集是線段、射線與R本身。由此性質可迅速匯出中間值定理。