複合函式定義域求法

　　複合函式是數字內的一種函式。以下是小編為大家整理的關於複合函式定義域以及，歡迎大家前來閱讀!

　　複合函式定義域

　　若函式=******的定義域是B,=******的定義域是A,則複合函式=[******]的定義域是

　　D={|∈A,且******∈B}綜合考慮各部分的x的取值範圍，取他們的交集。

　　求函式的定義域主要應考慮以下幾點：

　　⑴當為整式或奇次根式時，R;

　　⑵當為偶次根式時，被開方數不小於0***即≥0***;

　　⑶當為分式時，分母不為0;當分母是偶次根式時，被開方數大於0;

　　⑷當為指數式時，對零指數冪或負整數指數冪，底不為0***如，中***。

　　⑸當是由一些基本函式通過四則運算結合而成的，它的定義域應是使各部分都有意義的自變數的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。

　　⑹分段函式的定義域是各段上自變數的取值集合的並集。

　　⑺由實際問題建立的函式，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實際意義對自變數的要求

　　⑻對於含引數字母的函式，求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類討論，並要注意函式的定義域為非空集合。

　　⑼對數函式的真數必須大於零，底數大於零且不等於1。

　　⑽三角函式中的切割函式要注意對角變數的限制。

　　複合函式及其定義域求法***1***

　　一、複合函式的定義：設y是u的函式，即y=f***u***,u是x的函式，即u=g***x***，且g***x***的值域與f***u***的定義域的交集非空，那麼y通過u的聯絡成為x的函式，這個函式稱為由y=f***u***，u=g***x***複合而成的複合函式記作y=f[g***x***],其中u稱為中間變數。

　　二、對高中複合函式的通解法——綜合分析法

　　1、解複合函式題的關鍵之一是寫出複合過程

　　例1：指出下列函式的複合過程。

　　***1***y=√2-x2 ***2***y=sin3x ***3***y=sin3x

　　解：***1*** y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2複合而成的。

　　***2***y=sin3x是由y=sinu,u=3x複合而成的。

　　***3***∵y=sin3x=***sinx***-3

　　∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx複合而成的。

　　2、解複合函式題的關鍵之二是正確理解複合函式的定義。

　　看下例題：例2：已知f***x+3***的定義域為[1、2],求f***2x-5*** 的定義域。

　　經典誤解1：解：f***x+3***是由y=f***u***,u=g***x***=x+3複合而成的。

　　F***2x-5***是由y=f***u2***,u2=g***x***=2x-5複合而成的。

　　由g***x***,G***x***得：u2=2x-11 即：y=f***u2***,u2=2x-11

　　∵f***u1***的定義域為[1、2]

　　∴1≤x﹤2

　　∴-9≤2x-11﹤-6

　　即：y=f***u2***的定義域為[-9、-6]

　　∴f***2x-5***的定義域為[-9、-6]

　　經典誤解2：解：∵f***x+3***的定義域為[1、2]

　　∴1≤x+3﹤2

　　∴-2≤x﹤-1

　　∴-4≤2x﹤-2

　　∴-9≤2x-5﹤-7

　　∴f***2x-5***的定義域為[-9、-7]

　　注：通過以上兩例誤解可得，解高中複合函式題會出錯主要原因是對複合函式的概念的理解模稜兩可，從定義域中找出“y”通過u的聯絡成為x的函式，這個函式稱為由y=f***u***,u=g***x***複合而成的複合函式，記作y=f[g***x***],其中u稱為“中間變數”。從以上誤解中找出解題者易將f***x+3***的定義域理解成***x+3***的取值範圍，從而導致錯誤。而從定義中可以看出u僅僅是中間變數，即u既不是自變數也不是因變數。複合函式的定義域是指y=f***u***,u=g***x***中u=g***x***中的x的取值範圍，即：f***x+3***是由f***u***,u=x+3複合而成的複合函式，其定義域是x的取值範圍。

　　正確解法：解:f***x+3***是由y=f***u1***,u1=x1+3***1≤x﹤2***複合而成的。

　　f***2x-5***是由y=f***u2***,u2=2x2-5複合而成的

　　∵1≤x1﹤2

　　∴4≤u1﹤5

　　∴4≤u2﹤5

　　∴4≤2x2-5﹤5

　　∴2≤x2﹤5

　　∴f***2x-5***的定義域為[2、5]

　　結論：解高中複合函式題要注意複合函式的分層，即u為第一層，x為第二層，一、二兩層是不可以直接建立關係的，在解題時，一定是同層考慮，不可異層考慮，若異層考慮則會出現經典誤解1與2的情況。

　　***2***

　　一、求高中複合函式定義域的題型

　　題型一：單對單，如：已知f***x***的定義域為[-1,4],求f***x+2***的定義域。

　　題型二：多對多，如：已知f***x+3***的定義域為[1、2],求f***2x-5***的定義域。

　　題型三：單對多，如：已知f***x***的定義域為[0、1],求f***2x-1***的定義域。

　　題型四：多對單，如：已知f***2x-1***的定義域為[0、1],求f***x***的定義域。

　　注：通解法——綜合分析法的關鍵兩步：

　　第一步：寫出複合函式的複合過程。

　　第二步：找出複合函式定義域所真正指代的字母***最為關鍵***

　　下面用綜合分析法解四個題型

　　題型一：單對單：

　　例3：已知f***x***的定義域為[-1、4],求f***x2***的定義域。

　　第1步：寫出複合函式的複合過程：

　　f***x2***是由y=f***u***,u=x22複合而成的。

　　***由於要同層考慮，且u與x的取值範圍相同，故可這樣變形***

　　f***x***是由y=f***u***,u=x1複合而成的。

　　∴f***x***的定義域為[-1、4]

　　第2步：找出複合函式定義域的真正對應

　　∴-1≤x1﹤4

　　即-1≤u﹤4

　　又∵u=x22

　　∴-1≤x22﹤4

　　***x2是所求f***x2***的定義域，此點由定義可找出***

　　∴-2﹤x2﹤2

　　∴f***x2***的定義域為***-2,2***

　　結論：此題中的自變數x1,x2通過u聯絡起來，故可求解。

　　題型二：多對多：

　　如例6：已知f***x+3***的定義域為[1、2],求f***2x-5***的定義域。

　　解析：多對多的求解是比較複雜的，但由解題型三與題型四的結論：

　　已知 f***x***的定義域,可求出y=f[g***x***]的定義域”

　　已知y=f[g***x***]的定義域,可求出f***x***的定義域

　　可以推出f***x***與y=f[g***x***]可以互求。

　　若y1=f***x+3***,y2=f***2x-5***,

　　同理，已知y1=f***x+3***的定義域，

　　故,

　　這裡f***x***成為了聯絡y1=f***x+3***,y2=f***2x-5***的一個橋樑，

　　其作用與以上解題中u所充當的作用相同。

　　所以，在多對多的題型中，可先利用開始給出的複合函式的定義域先求出f***x***，再以f***x***為跳板求出所需求的複合函式的定義域，具體步驟如下：

　　第一步：寫出複合函式的複合過程:

　　f***x+3***是由y=f***u***u=x+3複合而成的。

　　f***2x-5***是由y2=f***u***u=2x-5複合而成的。

　　∴4≤x+3≤5

　　∴4≤u≤5

　　設：函式y3=***u***,u=x

　　∴y3=f***x***的定義域為[4、5]

　　第三步：通過橋樑f***x***進而求出y2=f***2x-5***:

　　f***x*** 是由y3=f***u***,u=x複合而成的

　　∵4≤x≤5

　　∴4≤u≤5

　　∴4≤2x-5≤5

　　∴ ≤x2≤5

　　∴f***2x-5***的定義域為：[5]

　　小結：實際上，此題也可以u為橋樑求出f***2x-5***, 詳參照例2的解法。

　　題型三：單對多：

　　例4：已知f***x***的定義域為[0,1],求f***2x-1***的定義域。

　　第1步：寫出複合函式的複合過程：

　　f***x***是由y=f***u***,u=x1複合而成的。

　　f***2x-1***是由y=f***u***,u=2x2-1複合而成.

　　第2步：找出複合函式定義域的真正對應：

　　∵0≤x1≤1

　　∴0≤u≤1

　　∴0≤2x2-1≤1

　　∴x2≤1

　　∴f***2x-1***的定義域為[，1]

　　結論：由此題的解答過程可以推出：已知f***x***的定義域可求出y=[g***x***]的定義域。

　　題型四：多對單：

　　如：例5：已知f***2x-1***的定義域為[0、1],求f***x***的定義域。

　　第1步：寫出複合函式的複合過程：

　　f***2x-1***是由f***u***,u=2x1-1複合而成的。

　　f***x***是由f***u***,u=x2複合而成的。

　　第2步：找出複合函式定義域對應的真正值：

　　∵0≤x1≤1

　　∴0≤2x1≤2

　　∴-1≤2x1-1≤1

　　∴-1≤u≤1

　　∴-1≤x2≤1

　　∴f***x***的定義域為[-1、1]

　　結論：由此題的解答過程可以推出：已知y=f[g***x***]的定義域可求出f***x***的定義域。

　　小結：通過觀察題型一、題型三、題型四的解法可以看出，解題的關鍵在於通過u這個橋樑將x1與x2聯絡起來解題。

　　二、將以上解答過程有機轉化為高中的標準解答模式。

　　如：例7：已知函式y=f***x***的定義域為[0、1]，求函式y=f***x2+1***的定義域。

　　解：∵函式f***x2+1***中的x2+1相當於f***x***中的x***即u=x2+1,與u=x***

　　∴0≤x2+1≤1

　　∴-1≤x2≤0

　　∴x=0

　　∴定義域為{0}

　　小結：本題解答的實質是以u為橋樑求解。

　　例8：已知y=f***2x-1***的定義域為[0、1],求函式y=f***x***的定義域。

　　解：由題意：0≤x≤1***即略去第二步，先找出定義域的真正物件***。

　　∴-1≤2x-1≤1***即求出u,以u為橋樑求出f***x***

　　視2x-1為一個整體***即u與u的交換***

　　則2x-1相關於f***x***中的x***即u與u的交換，

　　f***x***由y=f***u***,u=x複合而成，-1≤u≤1,

　　∴-1≤x≤1***

　　∴函式f***x***的定義域為[-1、1]

　　總結：綜合分析法分了3個步驟

　　寫出複合函式的複合過程。 找出複合函式定義域所指的代數。 找出解題中的橋樑***u或f***x***可為橋樑***