九年級數學上冊期末試卷含答案
數學考試好不好先天註定，那是“命”;但你可以決定怎麼面對，那是“運”!以下是小編為你整理的九年級數學上冊期末試卷，希望對大家有幫助!
九年級數學上冊期末試卷
一、選擇題
1.拋物線y=﹣ x2+1的頂點座標是*** ***
A.***0，1*** B.*** ，1*** C.***﹣ ，﹣1*** D.***2，﹣1***
2.在半徑為12的⊙O中，60°圓心角所對的弧長是*** ***
A.6π B.4π C.2π D.π
3.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠B=70°，則∠D的度數是*** ***
A.110° B.90° C.70° D.50°
4.數學課上，老師讓學生尺規作圖畫Rt△ABC，使其斜邊AB=c，一條直角邊BC=a.小明的作法如圖所示，你認為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據是*** ***
A.勾股定理
B.直徑所對的圓周角是直角
C.勾股定理的逆定理
D.90°的圓周角所對的弦是直徑
5.二次函式y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列關係式錯誤的是*** ***
A.a<0 B.b>0 C.b2﹣4ac>0 D.a+b+c<0
6.如圖所示.在等分的圓形紙片上作隨機扎針實臉，針頭紮在陰影區城內的概率為*** ***
A. B. C. D.
7.若二次函式y=ax2+c的圖象經過點P***1，3***，則該圖象必經過點*** ***
A.***1，﹣3*** B.***﹣1，3*** C.***3，﹣1*** D.***﹣3，1***
8.已知 a= b，那麼a：b=*** ***
A.10：3 B.3：10 C.2：15 D.15：2
9.如圖，AB為⊙O的直徑，P點在AB延長線上，PM切⊙O於M點，若OA=a，PM= a，那麼△PMB的周長為*** ***
A.2a B.2 a C.a D.***2+ ***a
10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那麼cosA為*** ***
A. B. C. D.
11.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，EA是⊙O的切線.若∠EAC=120°，則∠ABC的度數是*** ***
A.80° B.70° C.60° D.50°
12.若拋物線y=x2+bx+c與x軸有唯一公共點，且過點A***m，n***，B***m﹣8，n***，則n=*** ***
A.12 B.14 C.16 D.18
二、填空題
13.已知 ≠0，則 的值為 .
14.二次函式y=x2﹣2x+3的最小值是 .
15.下列4個事件：①異號兩數相加，和為負數;②異號兩數相減，差為正數;③異號兩數相乘，積為正數;④異號兩數相除，商為負數.必然事件是 ，不可能事件是 .***將事件的序號填上即可***
16.如圖是一個古代車輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連線外圓上的兩點A、B，並使AB與車輪內圓相切於點D，半徑為OC⊥AB交外圓於點C.測得CD=10cm，AB=60cm，則這個車輪的外圓半徑是 .
17.如圖，網格中的四個格點組成菱形ABCD，則tan∠DBC的值為 .
18.如圖，已知點D在銳角三角形ABC的BC邊上，AB>AC，點E、F分別是△ABD、△ACD的外心，且EF=BC，那麼∠ADC= 度.
三、解答題
19.計算： .
20.如圖，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3.
***1***求 的值;
***2***求BC的長.
21.有一個拋物線形的拱形橋洞，橋面離水面的距離為5.6米，橋洞離水面的最大高度為4m，跨度為10m，如圖所示，把它的圖形放在直角座標系中.
***1***求這條拋物線所對應的函式關係式.
***2***如圖，在對稱軸右邊1m處，橋洞離橋面的高是多少?
22.甲同學做拋正四面體骰子***如圖：均勻的正四面體形狀，各面分別標有數字1、2、3、4***實驗，共拋了60次，向下面數字出現的次數如表：
向下面數字 1 2 3 4
出現次數 11 16 18 15
***1***計算此次實驗中出現向下面數字為4的頻率;
***2***如果甲、乙兩同學各拋一枚這樣的骰子，請用表格或樹狀圖表示：兩枚骰子向下面數字之和的所有等可能性結果，並求出和為3的倍數的概率.
23.如圖，A為某旅遊景區的最佳觀景點，遊客可從B處乘坐纜車先到達小觀景平臺DE觀景，然後再由E處繼續乘坐纜車到達A處，返程時從A處乘坐升降電梯直接到達C處，已知：AC⊥BC於C，DE∥BC，BC=110米，DE=9米，BD=60米，α=32°，β=68°，求AC的高度.***參考資料：sin32°≈0.53;cos32°≈0.85;tan32°≈0.62;sin68°≈0.93;cos68°≈0.37;tan68°≈2.48***
24.教材的《課題學習》要求同學們用一張正三角形紙片摺疊成正六邊形，小明同學按照如下步驟摺疊：
請你根據小明同學的摺疊方法，回答以下問題：
***1***如果設正三角形ABC的邊長為a，那麼CO= ***用含a的式子表示***;
***2***根據摺疊性質可以知道△CDE的形狀為 三角形;
***3***請同學們利用***1***、***2***的結論，證明六邊形KHGFED是一個六邊形.
25.如圖，等邊三角形ACD內接於⊙O，直徑AB與弦CD交於點F，過點B作⊙O的切線BM，交AD的延長線於點E.
***1***求證：弦CD∥BM;
***2***已知DE=2，連結OE，求OE的長.
26.如圖，在平面直角座標系中，拋物線y=a***x﹣1***2+4與x軸交於點A、B兩點，與y軸交於點C，且點B的座標為***3，0***，點P在這條拋物線的第一象限圖象上運動.過點P作y軸的垂線與直線BC交於點Q，以PQ為邊作Rt△PQF，使∠PQF=90°，點F在點Q的下方，且QF=1，設線段PQ的長度為d，點P的橫座標為m.
***1***求這條拋物線所對應的函式表示式;
***2***求d與m之間的函式關係式;
***3***當Rt△PQF的邊PF被y軸平分時，求d的值;
***4***以OB為直角邊作等腰直角三角形OBD，其中點D在第一象限，直接寫出點F落在△OBD的邊上時m的值.
九年級數學上冊期末試卷答案
一、選擇題
1.拋物線y=﹣ x2+1的頂點座標是*** ***
A.***0，1*** B.*** ，1*** C.***﹣ ，﹣1*** D.***2，﹣1***
【考點】二次函式的性質.
【分析】利用拋物線頂點座標公式可求得答案.
【解答】解：
∵﹣ =﹣ =0， = =1，
∴頂點座標為***0，1***，
故選A.
【點評】本題主要考查二次函式的性質，掌握二次函式的頂點座標公式是解題的關鍵.
2.在半徑為12的⊙O中，60°圓心角所對的弧長是*** ***
A.6π B.4π C.2π D.π
【考點】弧長的計算.
【分析】根據弧長公式計算即可.
【解答】解：L= = =4π，
故選B.
【點評】本題主要考查了弧長公式.
3.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠B=70°，則∠D的度數是*** ***
A.110° B.90° C.70° D.50°
【考點】圓內接四邊形的性質.
【分析】先根據圓內接四邊形的對角互補得出∠D+∠B=180°，即可解答.
【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，
∴∠D+∠B=180°，
∴∠D=180°﹣70°=110°，
故選：A.
【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟知圓內接四邊形對角互補的性質是解答此題的關鍵.
4.數學課上，老師讓學生尺規作圖畫Rt△ABC，使其斜邊AB=c，一條直角邊BC=a.小明的作法如圖所示，你認為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據是*** ***
A.勾股定理
B.直徑所對的圓周角是直角
C.勾股定理的逆定理
D.90°的圓周角所對的弦是直徑
【考點】作圖—複雜作圖;勾股定理的逆定理;圓周角定理.
【分析】由作圖痕跡可以看出AB是直徑，∠ACB是直徑所對的圓周角，即可作出判斷.
【解答】解：由作圖痕跡可以看出O為AB的中點，以O為圓心，AB為直徑作圓，然後以B為圓心BC=a為半徑花弧與圓O交於一點C，故∠ACB是直徑所對的圓周角，所以這種作法中判斷∠ACB是直角的依據是：直徑所對的圓周角是直角.
故選：B.
【點評】本題主要考查了尺規作圖以及圓周角定理的推論，能夠看懂作圖過程是解決問題的關鍵.
5.二次函式y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列關係式錯誤的是*** ***
A.a<0 B.b>0 C.b2﹣4ac>0 D.a+b+c<0
【考點】二次函式圖象與係數的關係.
【專題】計算題.
【分析】根據拋物線的開口方向對A進行判斷;根據拋物線的對稱軸位置對B進行判斷;根據拋物線與x軸的交點個數對C進行判斷;根據自變數為1所對應的函式值為正數對D進行判斷.
【解答】解：A、拋物線開口向下，則a<0，所以A選項的關係式正確;
B、拋物線的對稱軸在y軸的右側，a、b異號，則b>0，所以B選項的關係式正確;
C、拋物線與x軸有2個交點，則△=b2﹣4ac>0，所以D選項的關係式正確;
D、當x=1時，y>0，則a+b+c>0，所以D選項的關係式錯誤.
故選D.
【點評】本題考查了二次函式圖象與係數的關係：對於二次函式y=ax2+bx+c***a≠0***，二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小，當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口;一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時***即ab>0***，對稱軸在y軸左; 當a與b異號時***即ab<0***，對稱軸在y軸右.***簡稱：左同右異***;常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交於***0，c***.拋物線與x軸交點個數由△決定：△=b2﹣4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.
6.如圖所示.在等分的圓形紙片上作隨機扎針實臉，針頭紮在陰影區城內的概率為*** ***
A. B. C. D.
【考點】幾何概率.
【分析】由題意知本題是一個幾何概型，試驗包含的所有事件對應的圖形是整個圓.而滿足條件的事件對應的是陰影部分，根據幾何概型概率公式得到結果.
【解答】解：由題意知本題是一個幾何概型，
試驗包含的所有事件是對應的圖形是整個圓，
而滿足條件的事件是事件對應的是陰影部分，
由幾何概型概率公式得到P= = .
故選C.
【點評】本題考查幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到.幾何概型和古典概型是高中必修中學習的高考時常以選擇和填空出現，有時文科會考這種型別的解答題.
7.若二次函式y=ax2+c的圖象經過點P***1，3***，則該圖象必經過點*** ***
A.***1，﹣3*** B.***﹣1，3*** C.***3，﹣1*** D.***﹣3，1***
【考點】二次函式圖象上點的座標特徵.
【分析】先求出二次函式的對稱軸，根據二次函式的對稱性即可得出結論.
【解答】解：∵二次函式y=ax2+c的對稱軸為y軸，圖象經過點P***1，3***，
∴則該圖象必經過點***﹣1，3***.
故選B.
【點評】本題考查的是二次函式圖象上點的座標特徵，熟知二次函式的對稱性是解答此題的關鍵.
8.已知 a= b，那麼a：b=*** ***
A.10：3 B.3：10 C.2：15 D.15：2
【考點】比例的性質.
【分析】設a=5k，則b= k，根據比例的性質即可求得.
【解答】解：設a=5k，
∵ a= b，
∴b= k，
∴ = = ，
故選A.
【點評】本題考查了比例的性質，熟練掌握比例的性質是關鍵.
9.如圖，AB為⊙O的直徑，P點在AB延長線上，PM切⊙O於M點，若OA=a，PM= a，那麼△PMB的周長為*** ***
A.2a B.2 a C.a D.***2+ ***a
【考點】切線的性質.
【分析】首先連線OM，由PM切⊙O於M點，若OA=a，PM= a，可求得OP的長，繼而求得BP的長，即可得OB=BP，利用直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半，可求得BM的長，則可求得△PMB的周長.
【解答】解：連線OM，
∵PM切⊙O於M點，
∴OM⊥PM，
∴∠OMP=90°，
∵OM=OA=a，PM= a，
∴OP= =2a，
∵OB=OA=a，
∴BP=OP﹣OB=2a﹣a=a，
∴OB= OP=OM，
∴MB= OP=a，
∴△PMB的周長為：BM+BP+PM=a+a+ a=***2+ ***a.
故選D.
【點評】此題考查了切線的性質以及直角三角形的性質.注意準確作出輔助線是解此題的關鍵.
10.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那麼cosA為*** ***
A. B. C. D.
【考點】銳角三角函式的定義.
【分析】根據勾股定理求出AC，根據餘弦的定義計算即可.
【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC= =3，
∴cosA= = ，
故選：B.
【點評】本題考查的是銳角三角函式的定義，掌握銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的餘弦是解題的關鍵.
11.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，EA是⊙O的切線.若∠EAC=120°，則∠ABC的度數是*** ***
A.80° B.70° C.60° D.50°
【考點】切線的性質.
【分析】根據EA是⊙O的切線，AD是⊙O的直徑，得到∠EAD=90°，由∠EAC=120°，所以∠DAC=∠EAC﹣∠EAD=30°，根據AD是⊙O的直徑，所以∠ACD=90°，進而得到∠ADC=180°﹣∠ACD﹣∠DAC=60°，根據圓周角定理得∠ABC=∠ADC=60°.
【解答】解：∵EA是⊙O的切線，AD是⊙O的直徑，
∴∠EAD=90°，
∵∠EAC=120°，
∴∠DAC=∠EAC﹣∠EAD=30°，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC=180°﹣∠ACD﹣∠DAC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°***圓周角定理***，
故選：C.
【點評】本題考查切線的性質和圓周角定理，解決本題的關鍵是掌握圓周角定理的內容.
12.若拋物線y=x2+bx+c與x軸有唯一公共點，且過點A***m，n***，B***m﹣8，n***，則n=*** ***
A.12 B.14 C.16 D.18
【考點】拋物線與x軸的交點.
【分析】由題意b2﹣4c=0，得b2=4c，又拋物線過點A***m，n***，B***m﹣8，n***，可知A、B關於直線x=﹣ 對稱，所以A***﹣ +4，n***，B***﹣ ﹣4，n***，把點A座標代入y=x2+bx+c，化簡整理即可解決問題.
【解答】解：由題意b2﹣4c=0，
∴b2=4c，
又∵拋物線過點A***m，n***，B***m﹣8，n***，
∴A、B關於直線x=﹣ 對稱，
∴A***﹣ +4，n***，B***﹣ ﹣4，n***，
把點A座標代入y=x2+bx+c，
n=***﹣ +4***2+b***﹣ +4***+c=﹣ b2+16+c，
∵b2=4c，
∴n=16.
故選C.
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點，待定係數法等知識，解題的關鍵是記住△=b2﹣4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點，△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點，△=b2﹣4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點，屬於中考常考題型.
二、填空題
13.已知 ≠0，則 的值為 .
【考點】比例的性質.
【分析】根據比例的性質，可用a表示b、c，根據分式的性質，可得答案.
【解答】解：由比例的性質，得
c= a，b= a.
= = = .
故答案為： .
【點評】本題考查了比例的性質，利用比例的性質得出a表示b、c是解題關鍵，又利用了分式的性質.
14.二次函式y=x2﹣2x+3的最小值是 2 .
【考點】二次函式的最值.
【分析】把函式的解析式化為頂點式的形式即可解答.
【解答】解：∵二次函式y=x2﹣2x+3可化為y=***x﹣1***2+2的形式，
∴二次函式y=x2﹣2x+3的最小值是2.
【點評】本題由於函式的二次項係數較小，所以可把函式解析式化為頂點式即y=a***x+h***2+k的形式解答.
15.下列4個事件：①異號兩數相加，和為負數;②異號兩數相減，差為正數;③異號兩數相乘，積為正數;④異號兩數相除，商為負數.必然事件是 ④ ，不可能事件是 ③ .***將事件的序號填上即可***
【考點】隨機事件.
【分析】必然事件就是一定發生的事件，不可能事件就是一定不會發生的事件，依據定義即可判斷.
【解答】解：①異號兩數相加，和為負數，是隨機事件;
②異號兩數相減，差為正數，是隨機事件;
③異號兩數相乘，積為正數，是不可能事件;
④異號兩數相除，商為負數，是必然事件.
故必然事件是④，不可能事件是③.
故答案是：④;③.
【點評】本題考查了必然事件和不可能事件的定義，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件.不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件.
16.如圖是一個古代車輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連線外圓上的兩點A、B，並使AB與車輪內圓相切於點D，半徑為OC⊥AB交外圓於點C.測得CD=10cm，AB=60cm，則這個車輪的外圓半徑是 50cm .
【考點】垂徑定理的應用;勾股定理;切線的性質.
【分析】根據垂徑定理求得AD=30cm，然後根據勾股定理即可求得半徑.
【解答】解：如圖，連線OA，
∵CD=10cm，AB=60cm，
∵CD⊥AB，
∴OC⊥AB，
∴AD= AB=30cm，
∴設半徑為r，則OD=r﹣10，
根據題意得：r2=***r﹣10***2+302，
解得：r=50.
∴這個車輪的外圓半徑長為50cm.
故答案為：50cm.
【點評】本題考查了垂徑定理的應用以及勾股定理的應用，作出輔助線構建直角三角形是本題的關鍵.
17.如圖，網格中的四個格點組成菱形ABCD，則tan∠DBC的值為 3 .
【考點】菱形的性質;解直角三角形.
【專題】網格型.
【分析】連線AC與BD相交於點O，根據菱形的對角線互相垂直平分可得AC⊥BD，BO= BD，CO= AC，再利用勾股定理列式求出AC、BD，然後根據銳角的正切等於對邊比鄰邊列式計算即可得解.
【解答】解：如圖，連線AC與BD相交於點O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO= BD，CO= AC，
由勾股定理得，AC= =3 ，
BD= = ，
所以，BO= × = ，
CO= ×3 = ，
所以，tan∠DBC= = =3.
故答案為：3.
【點評】本題考查了菱形的性質，解直角三角形，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分，作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵.
18.如圖，已知點D在銳角三角形ABC的BC邊上，AB>AC，點E、F分別是△ABD、△ACD的外心，且EF=BC，那麼∠ADC= 30 度.
【考點】三角形的外接圓與外心.
【分析】先構造直角三角形，求出∠BEA=60°，進而用圓內接四邊形的性質即可得出.
【解答】解：如圖，
作EH⊥BC，FG⊥BC，
∴HG= BC，
∴HG= EF，
作FM⊥EH，
∴FM=HG= EF，
∴∠MEF=30°，
∴∠BEA=60°，
作內接四邊形ADBN，
∴∠ADC=∠N，
∵∠N= ∠BEA=30°，
∴∠ADC=30°.
故答案為30
【點評】此題是三角形內接圓與內心，主要考查了直角三角形性質，圓內接四邊形的性質，解本題的關鍵是作出輔助線.
三、解答題
19.計算： .
【考點】特殊角的三角函式值;二次根式的加減法.
【分析】將sin60°= ，tan30°= 代入運算，然後將二次根式化簡、合併即可.
【解答】解：原式=
=
= .
【點評】本題考查了二次根式的加減及特殊角的三角函式值，特殊角的三角函式值是需要同學們熟練記憶的內容.
20.如圖，在△ABC中，已知DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3.
***1***求 的值;
***2***求BC的長.
【考點】相似三角形的判定與性質.
【專題】計算題.
【分析】***1***先證明△ADE∽△ABC，然後利用相似比可求出 的值;
***2***先證明△ADE∽△ABC，然後利用相似比可求出BC的長.
【解答】解：***1***∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = = = ;
***2***∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
∴BC=9.
【點評】本題考查了三角形相似的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形.在運用相似三角形的性質時主要利用相似比計算線段的長.
21.有一個拋物線形的拱形橋洞，橋面離水面的距離為5.6米，橋洞離水面的最大高度為4m，跨度為10m，如圖所示，把它的圖形放在直角座標系中.
***1***求這條拋物線所對應的函式關係式.
***2***如圖，在對稱軸右邊1m處，橋洞離橋面的高是多少?
【考點】二次函式的應用.
【專題】應用題.
【分析】***1***由題意可知拋物線的頂點座標，設函式關係式為y=a***x﹣5***2+4，將已知座標代入關係式求出a的值.
***2***對稱軸右邊1米處即x=6，代入解析式求出y=值.
【解答】解：***1***由題意可知，拋物線的頂點座標為***5，4***，
所以設此橋洞所對應的二次函式關係式為y=a***x﹣5***2+4，
由圖象知該函式過原點，將O***0，0***代入上式，得：0=a***0﹣5***2+4，
解得a=﹣ ，
故該二次函式解析式為y=﹣ ***x﹣5***2+4，
***2***對稱軸右邊1米處即x=6，此時y=﹣ ***6﹣5***2+4=3.84，
因此橋洞離橋面的高5.6﹣3.84=1.76米.
【點評】本題考查的是二次函式的實際應用.考查了現實中的二次函式問題，賦予傳統試題新的活力.
22.甲同學做拋正四面體骰子***如圖：均勻的正四面體形狀，各面分別標有數字1、2、3、4***實驗，共拋了60次，向下面數字出現的次數如表：
向下面數字 1 2 3 4
出現次數 11 16 18 15
***1***計算此次實驗中出現向下面數字為4的頻率;
***2***如果甲、乙兩同學各拋一枚這樣的骰子，請用表格或樹狀圖表示：兩枚骰子向下面數字之和的所有等可能性結果，並求出和為3的倍數的概率.
【考點】模擬實驗;列表法與樹狀圖法.
【分析】***1***根據頻率= ，計算即可.
***2***用表格寫出所有可能，再根據概率的定義計算即可.
【解答】解：***1***出現向下面數字為4的頻率為= = .
***2***兩枚骰子向下面數字之和的所有等可能性結果見表格，
共16種可能，和為3的倍數的有5種可能，
∴P***數字之和為3的倍數***= .
【點評】本題考查頻率、頻數、總數的關係，概率、樹狀圖、列表法等知識，解題的關鍵是熟練掌握這些知識，屬於中考常考題型.
23.如圖，A為某旅遊景區的最佳觀景點，遊客可從B處乘坐纜車先到達小觀景平臺DE觀景，然後再由E處繼續乘坐纜車到達A處，返程時從A處乘坐升降電梯直接到達C處，已知：AC⊥BC於C，DE∥BC，BC=110米，DE=9米，BD=60米，α=32°，β=68°，求AC的高度.***參考資料：sin32°≈0.53;cos32°≈0.85;tan32°≈0.62;sin68°≈0.93;cos68°≈0.37;tan68°≈2.48***
【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.
【分析】根據已知和餘弦的概念求出DF的長，得到CG的長，根據正切的概念求出AG的長，求和得到答案.
【解答】解：∵cos∠DBF= ，
∴BF=60×0.85=51，
FH=DE=9，
∴EG=HC=110﹣51﹣9=50，
∵tan∠AEG= ，
∴AG=50×2.48=124，
∵sin∠DBF= ，
∴DF=60×0.53=31.8，
∴CG=31.8，
∴AC=AG+CG=124+31.8=155.8.
【點評】本題考查的是解直角三角形的應用，掌握銳角三角函式的概念和坡角的概念是解題的關鍵，解答時注意：正確作出輔助線構造直角三角形準確運用銳角三角函式的概念列出算式.
24.教材的《課題學習》要求同學們用一張正三角形紙片摺疊成正六邊形，小明同學按照如下步驟摺疊：
請你根據小明同學的摺疊方法，回答以下問題：
***1***如果設正三角形ABC的邊長為a，那麼CO= a ***用含a的式子表示***;
***2***根據摺疊性質可以知道△CDE的形狀為 等邊 三角形;
***3***請同學們利用***1***、***2***的結論，證明六邊形KHGFED是一個六邊形.
【考點】正多邊形和圓;翻折變換***摺疊問題***.
【分析】***1***根據摺疊的性質即可得到結論;
***2***根據摺疊的性質即可得到結論;
***3***由***2***知△CDE為等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到CD=CE=DE= CO÷cos30°= a，
求得∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH= a，BG=BF=GF= a，∠CKH=∠BHK=120°，由於AB=BC=AC=a，於是得到結論.
【解答】解：***1***∵正三角形ABC的邊長為a，
由摺疊的性質可知，點O是三角形的重心，
∴CO= a;
故答案為： a;
***2***△CDE為等邊三角形;
故答案為：等邊;
***3***由***2***知△CDE為等邊三角形，
∴CD=CE=DE= CO÷cos30°= a，
∠ADE=∠BED=120°，
同理可得，AH=AK=KH= a，BG=BF=GF= a，∠CKH=∠BHK=120°，
∵AB=BC=AC=a，
∴DE=DK=KH=HG=GF=FE= a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，
∴六邊形KHGFED是一個正六邊形.
【點評】本題考查了正多形與圓，摺疊的性質，三角形的重心的性質，等邊三角形的性質，熟練掌握各定理是解題的關鍵.
25.如圖，等邊三角形ACD內接於⊙O，直徑AB與弦CD交於點F，過點B作⊙O的切線BM，交AD的延長線於點E.
***1***求證：弦CD∥BM;
***2***已知DE=2，連結OE，求OE的長.
【考點】切線的性質;等邊三角形的性質.
【分析】***1***根據切線的性質得到AB⊥BE，根據等邊三角形的性質得到AD=AC，由垂徑定理得到CD⊥AB，於是得到結論;
***2***連線OE，過O作ON⊥AD於N，由***1***知，△ACD是等邊三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性質得到BE= AE，ON= AO，設⊙O的半徑為：r則ON= r，AN=DN= r，由於得到EN=2+ ，BE= AE= ，在Rt△DEF與Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可得到結論.
【解答】***1***證明∵AB是⊙O的直徑，BM是⊙O的切線，
∴AB⊥BE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AD=AC，
∴ = ，
∴CD⊥AB，
∴CD∥BM;
***2***解：連線OE，過O作ON⊥AD於N，由***1***知，△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°
∵AD=AC，CD⊥AB，
∴∠DAB=30°，
∴BE= AE，ON= AO，
設⊙O的半徑為：r，
∴ON= r，AN=DN= r，
∴EN=2+ ，BE= AE= ，
在Rt△NEO與Rt△BEO中，
OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，
即*** ***2+***2+ ***2=r2+ ，
∴r=2 ，
∴OE2=*** ***2+25=28，
∴OE=2 .
【點評】本題考查了切線的性質，垂徑定理，等邊三角形的判定，直角三角形的性質，勾股定理，過O作ON⊥AD於N，構造直角三角形是解題的關鍵.
26.如圖，在平面直角座標系中，拋物線y=a***x﹣1***2+4與x軸交於點A、B兩點，與y軸交於點C，且點B的座標為***3，0***，點P在這條拋物線的第一象限圖象上運動.過點P作y軸的垂線與直線BC交於點Q，以PQ為邊作Rt△PQF，使∠PQF=90°，點F在點Q的下方，且QF=1，設線段PQ的長度為d，點P的橫座標為m.
***1***求這條拋物線所對應的函式表示式;
***2***求d與m之間的函式關係式;
***3***當Rt△PQF的邊PF被y軸平分時，求d的值;
***4***以OB為直角邊作等腰直角三角形OBD，其中點D在第一象限，直接寫出點F落在△OBD的邊上時m的值.
【考點】二次函式綜合題.
【分析】***1***把點B***3，0***代入拋物線y=a***x﹣1***2+4求出a即可.
***2***求出直線BC的解析式，根據P、Q兩點縱座標相同，求出點Q的橫座標即可解決問題.
***3***當Rt△PQF的邊PF被y軸平分時，點P與點Q關於y軸對稱，如圖1中，根據P、Q兩點橫座標互為相反數，列出方程即可解決問題.
***4***如圖2中，分兩種情形當點F在直線OD上時，當點F在直線OB上時，分別列出方程即可解決問題.
【解答】解;***1***把點B***3，0***代入拋物線y=a***x﹣1***2+4，得4a+4=0，
∴a=﹣1，
∴拋物線的解析式為y=﹣***x﹣1***2+4，=﹣x2+2x+3.
***2***對於拋物線y=﹣x2+2x+3，當x=0時，y=3，
∴C***0，3***，∵B***3，0***，設直線BC的解析式為y=kx+b，則有 ，解得 ，
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，
∵點P座標***m，﹣m2+2m+3***，
∴點Q的縱座標為﹣m2+2m+3，則﹣x+3=﹣m2+2m+3，
∴x=m2﹣2m，
∴點Q的座標為***m2﹣2m，﹣m2+2m+3***，
∵0
∴d=m﹣***m2﹣2m***=﹣m2+3m.
***3***當Rt△PQF的邊PF被y軸平分時，點P與點Q關於y軸對稱，如圖1中，
∴P、Q兩點橫座標互為相反數，
∴m2﹣2m+m=0，解得m=1或0***捨棄***，
∴m=1，d=3﹣1﹣2.
***4***如圖2中，
∵F***m2﹣2m，﹣m2+2m+2***，
當點F在直線OD上時，m2﹣2m=﹣m2+2m+2，解得m=1+ 或1﹣ ***捨棄***，
當點F在直線OB上時，﹣m2+2m+2=0，解得m=1+ 或1﹣ ***捨棄***，
綜上所述，當m=1+ 或1+ 時，點F落在△OBD的邊上.
【點評】本題考查二次函式綜合題、待定係數法、一次函式等知識，解題的關鍵是靈活應用待定係數法解決問題，學會分類討論，不能漏解，屬於中考壓軸題.
九年級數學第一學期期末試卷