內心向量有什麼性質?

內心的性質有哪些

1.內心是三角形內切圓的圓心；

2.內心到三角形三邊的距離相等；

3.內心是三角形三個內角平分線的交點

4.內心都在三角形的內部；

5.內切圓的半徑一般通過面積方法來解決

內心的性質

設△ABC的內切圓為☉O(半徑r)，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2。1、三角形的三個角平分線交於一點，該點即為三角形的內心。2、三角形的內心到三邊的距離相等，都等於內切圓半徑r。3、r=S/p。證明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得結論。4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。5、∠BOC=90°+∠A/2。6、點O是平面ABC上任意一點，點O是△ABC內心的充要條件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。7、點O是平面ABC上任意一點，點I是△ABC內心的充要條件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那麼△ABC內心I的座標是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c))，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。9、(歐拉定理)△ABC中，R和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，O和I分別為其外心和內心，則OI2=R2-2Rr。10、內角平分線分三邊長度關係：如圖：△ABC中，AD是∠A的角平分線，D在BC上，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，d=AD。設R1是△ABD的外接圓半徑，R2是△ACD的外接圓半徑，則有：BD/CD=AB/AC證明：由正弦定理得b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=2R1sinBAD， CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC11、內切圓半徑r=

內心向量表示

a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0

三角形的內心有什麼性質

1、三角形內心是三角形內切圓圓心,

2、三角形內心是三角形三條角平分線的交點,

3、內心到三邊的距離相等,都等於內切圓的半徑

4、三角形內切圓半徑的求法

一般的：r=2S/C (面積的2倍除以周長)

特殊的：直角三角形：r=1/2(a+b-c);等腰三角形：r/(1/2底)=(高-r)/腰

5、點O是平面ABC上任意一點，點I是△ABC內心的充要條件是：

向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．

6、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那麼△ABC內心I的座標是：

(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．

7、△ABC中，內切圓分別與AB，BC，CA相切於P，Q，R，則AP=AR=（b+c-a）/2，BP=BQ=(a

+c-b)/2,CR=CQ=(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。

8、（三角形內角平分線定理）

△ABC中，0為內心，∠A、∠B、∠C的內角平分線分別交BC、AC、AB於Q、P、R，則BQ/QC=c/b,CP/PA=a/c,BR/RA=a/b.

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