如何判斷連續與可導?

General 更新 2025-01-01

高數中.連續性和可導性怎麼判斷

高等數學中的函數才能談到連續性與可導性

下面說一元函數就是隻有一個自變量那種比如f(x)=coslglnsin(4x+lnx+lgx+arcsinx+2sinx+2^x)

先提下基本初等函數：常值函數冪函數指數函數對數函數三角函數反三角函數

A基本初等函數複合而成的複合函數無論多麼複雜在它定義域上連續並可導！！

證明的時候：

【1】比如要你證明該函數在x=a處連續

那麼只需要

1 lim(x趨近與a+,也就是右極限，右側的極限，加號表示大於a)f(x)=

lim(x趨近與a-,也就是左極限，左側的極限，減號表示小於於a)f(x)

2 lim(x趨近於a)=limf(a)(此處暗含函數本身必須在x=a處有定義否則直接判定他不連續，點都沒有還如何連續)

滿足上述1 2即可

這很難麼？

或者對於一元函數來講可導必連續可以先判定函數本身可導那麼他一定連續

牢記：對於初等函數與初等函數的複合函數而言在定義域上既可導又連續

【2】比如你要證明y=f(x)在x=a處可導

你先假設可導那麼有一個導函數y'=f'(x)

判定導函數導函數y'=f'(x)是否可導可按上述方法一樣的

那麼只需要

1 lim(x趨近與a+,也就是右極限，右側的極限，加號表示大於a)f'(x)=

lim(x趨近與a-,也就是左極限，左側的極限，減號表示小於於a)f'(x)

滿足上述1 即可此處注意不需要導函數在x=a處有定義可以說比連續的判斷還要簡單。

B 如果函數本身不是基本初等函數或其複合而成那麼就需要根據定義來同樣簡單。

函數在某一點是否是可導的條件是：在該點的左、右導數相等；

函數在某一點是否連續的條件是：在該點左、右極限相等且等於該點的函數值。

函數連續可導，但函數可導可不一定連續。

我們先考慮怎麼分析函數是否連續。

設一個函數y=f(x), x在它的定義域內，y有意義。我們接下來談的都是在x的定義域內。

先在x的定義域內任意區一點x',那麼y'=f(x'), 我們藉助極限的概念，當x從左邊趨近於x'時，看看y是否趨近於y'；同理，當x從右邊趨近於x'時，看看y是否趨近於y'。