泰勒公式怎麼推導?

泰勒公式是怎麼推導出來的

泰勒公式是數學分析中的結果，你用中學數學的思想當然就不懂了。

數學，泰勒公式，有人知道泰勒公式是怎麼推導出來的嗎？

泰勒公式是數學分析中的結果，你用中學數學的思想當然就不懂了。

泰勒公式的驗證推導

我們知道，根據拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有：於是：其中誤差α是在Δx→0 即x→x0的前提下才趨向於0，所以在近似計算中往往不夠精確；於是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：來近似地表示函數f(x）且要寫出其誤差f(x)-P(x）的具體表達式。設函數P(x)滿足 ：於是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，顯然有： ，所以 ； ，所以 ； ，所以 ； ，所以 ；至此，多項的各項係數都已求出，得：以上就是函數 的泰勒展開式。接下來就要求誤差的具體表達式了。設 ，令 得到： 進而： 根據柯西中值定理：其中 ；繼續使用柯西中值定理得到：其中 ；連續使用n+1次後得到： 其中；同時： 而： 進而： 綜上可得：一般來說展開函數時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn(x）寫為Rn。

泰勒公式怎麼推倒出來的？

設冪級數為f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①

令x=a則a0=f(a)

將①式兩邊求一階導數，得

f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②

令x=a,得a1=f'(a)

對②兩邊求導，得

f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……

令x=a,得a2=f''(a)/2!

繼續下去可得an=f(n)(a)/n!

所以f(x)在x=a處的泰勒公式為：

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……

應用：用泰勒公式可把f(x)展開成冪級數，從而可以進行近似計算，也可以計算極限值，等等。

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